Что такое процентиль обобщённого распределения Парето?
Обобщённое распределение Парето (GPD, generalized Pareto distribution) — это непрерывное распределение вероятностей, которое широко применяется в статистике экстремальных значений для описания поведения «хвостов» данных, то есть превышений над высоким порогом. Его процентиль (он же квантиль или процентная точка) — это такое значение \(x\), при котором функция распределения \(F(x)\) равна выбранной вероятности \(P\). Калькулятор вычисляет обратную функцию распределения (обратную CDF) по трём стандартным параметрам: положению \(\mu\), масштабу \(\sigma\) и форме \(\xi\). Это чисто статистическая функция, которая не привязана к какой-либо стране или законодательству.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите режим кумулятивной вероятности. Вариант «Нижняя кумулятивная P» подходит, если ваша вероятность задана как \(P = \Pr(X \le x)\). Вариант «Верхняя кумулятивная Q» выбирайте, когда у вас вероятность превышения (вероятность выживания) \(Q = \Pr(X > x)\); калькулятор сам пересчитает её по формуле \(P = 1 - Q\). Затем введите кумулятивную вероятность (от 0 до 1), параметр положения \(\mu\), масштаб \(\sigma\) (он должен быть больше 0) и форму \(\xi\). В результате вы получите процентиль \(x\) в этой точке вероятности.
Разбор формулы
Функция распределения GPD имеет вид $$F(x) = 1 - \left(1 + \frac{\xi\cdot(x - \mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ при \(\xi \ne 0\) и $$F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ при \(\xi = 0\). Если выразить \(x\) по заданной нижней кумулятивной вероятности \(P\), получим $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ при \(\xi \ne 0\) и $$x = \mu - \sigma\cdot\ln(1 - P)$$ при \(\xi = 0\). Поскольку деление на \(\xi\) теряет смысл при нуле, любое значение \(|\xi| < 10^{-12}\) трактуется как экспоненциальный случай.
Пример расчёта
При режиме «нижняя», \(P = 0{,}9\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 0{,}5\): $$x = \frac{1}{0{,}5}\cdot\left[(1 - 0{,}9)^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot\left[0{,}1^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot\left[3{,}1622777 - 1\right] = 4{,}3245553.$$
Частые вопросы
Что происходит при \(\xi = 0\)? Обобщённое распределение Парето вырождается в сдвинутое экспоненциальное распределение, и квантиль вычисляется по логарифмической формуле, приведённой выше.
Всегда ли верхняя граница носителя бесконечна? Нет. При \(\xi < 0\) носитель ограничен сверху значением \(x = \mu - \sigma/\xi\); при \(P = 1\) калькулятор вернёт эту конечную граничную точку. При \(\xi \ge 0\) верхний хвост неограничен, и \(P = 1\) даёт плюс бесконечность.
Почему \(\sigma\) должна быть положительной? Параметр масштаба \(\sigma\) задаёт «разброс» распределения; при неположительном \(\sigma\) распределение становится неопределённым.
