Qu'est-ce que le percentile de la loi de Pareto généralisée ?
La loi de Pareto généralisée (GPD, pour Generalized Pareto Distribution) est une distribution de probabilité continue très utilisée en statistique des valeurs extrêmes pour modéliser le comportement des queues de distribution — c'est-à-dire les dépassements au-delà d'un seuil élevé. Son percentile (aussi appelé quantile ou point de pourcentage) correspond à la valeur \(x\) pour laquelle la probabilité cumulée \(F(x)\) est égale à une probabilité choisie \(P\). Ce calculateur évalue la fonction de répartition inverse (CDF inverse) à partir des trois paramètres standard : la position \(\mu\), l'échelle \(\sigma\) et la forme \(\xi\). Il s'agit d'une fonction purement statistique, sans rapport avec un pays ou une juridiction en particulier.
Comment utiliser le calculateur
Commencez par choisir le mode cumulatif. Sélectionnez « Probabilité cumulée inférieure P » lorsque votre probabilité vaut \(P = \Pr(X \le x)\). Sélectionnez « Probabilité cumulée supérieure Q » lorsque votre probabilité correspond à la probabilité de survie \(Q = \Pr(X > x)\) ; l'outil la convertit alors en interne avec \(P = 1 - Q\). Saisissez ensuite la probabilité cumulée (comprise entre 0 et 1), la position \(\mu\), l'échelle \(\sigma\) (qui doit être strictement supérieure à 0) et la forme \(\xi\). Le résultat est le percentile \(x\) correspondant à ce point de probabilité.
La formule expliquée
La fonction de répartition (CDF) de la GPD s'écrit $$F(x) = 1 - \left(1 + \xi\cdot\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ lorsque \(\xi \ne 0\), et $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ lorsque \(\xi = 0\). En l'inversant pour obtenir \(x\) à partir d'une probabilité cumulée inférieure \(P\), on obtient $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ lorsque \(\xi \ne 0\), et $$x = \mu - \sigma\cdot\ln(1 - P)$$ lorsque \(\xi = 0\). Comme la division par \(\xi\) est impossible à zéro, toute valeur \(|\xi|\) inférieure à \(10^{-12}\) est traitée comme le cas exponentiel.
Exemple détaillé
Avec mode = inférieur, \(P = 0{,}9\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 0{,}5\) : $$x = \frac{1}{0{,}5}\cdot\left[(1 - 0{,}9)^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot\left[0{,}1^{-0{,}5} - 1\right] = 2\cdot[3{,}1622777 - 1] = 4{,}3245553.$$
FAQ
Que se passe-t-il lorsque \(\xi = 0\) ? La GPD se réduit à une loi exponentielle décalée, et le quantile utilise la formule logarithmique présentée plus haut.
Le support supérieur est-il toujours infini ? Non. Si \(\xi < 0\), le support est borné supérieurement à \(x = \mu - \sigma/\xi\) ; lorsque \(P = 1\), le calculateur renvoie cette borne finie. Si \(\xi \ge 0\), la queue supérieure n'est pas bornée et \(P = 1\) donne plus l'infini.
Pourquoi \(\sigma\) doit-il être positif ? Le paramètre d'échelle \(\sigma\) détermine la dispersion de la distribution ; un \(\sigma\) nul ou négatif rend la distribution indéfinie.
