广义帕累托分布分位数（百分位）计算器

输入计算

结果

百分位数（x）

0.693147

给定累积概率所对应的数值 x

所使用的下侧累积概率 P	0.5

什么是广义帕累托分布的百分位数？

广义帕累托分布（Generalized Pareto Distribution，简称 GPD）是一种连续型概率分布，在极值统计中应用广泛，常用于刻画数据尾部行为——即超过某个高阈值的「超额量」。它的百分位数（也称分位数或分位点）指的是使累积概率 $F(x)$ 等于给定概率 $P$ 的那个数值 $x$。本计算器在已知三个标准参数——位置参数 $\mu$、尺度参数 $\sigma$、形状参数 $\xi$——的情况下，计算累积分布函数的逆函数（逆 CDF）。它是一个纯粹的统计学函数，不依赖任何国家或地区的特定规则。

Generalized Pareto probability density curve with a shaded left area and a marked quantile point on the x-axis — The percentile x is the value where the lower cumulative probability P equals the shaded area under the GPD density.

如何使用本计算器

首先选择累积方式。当你的概率表示 $P = \Pr(X \le x)$ 时，选择「下侧累积概率 $P$」；当你的概率表示生存概率 $Q = \Pr(X > x)$ 时，选择「上侧累积概率 $Q$」，此时计算器会在内部按 $P = 1 - Q$ 自动换算。随后输入累积概率（介于 0 与 1 之间）、位置参数 $\mu$、尺度参数 $\sigma$（必须大于 0）以及形状参数 $\xi$。计算结果即为该概率点对应的百分位数 $x$。

公式详解

当 $\xi \ne 0$ 时，GPD 的累积分布函数为 $$F(x) = 1 - \left(1 + \frac{\xi(x - \mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$；当 $\xi = 0$ 时，$$F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$。在已知下侧累积概率 $P$ 的条件下对 $x$ 求逆：当 $\xi \ne 0$ 时，$$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$；当 $\xi = 0$ 时，$$x = \mu - \sigma\ln(1 - P)$$。由于除以 $\xi$ 在零处无意义，因此只要 $|\xi| < 10^{-12}$，就按指数分布的情形处理。

Inverse CDF mapping a probability on the vertical axis to a quantile value on the horizontal axis along an S-shaped cumulative curve — The quantile function inverts the CDF: read a probability P and trace to the corresponding value x.

计算示例

设方式 = 下侧，$P = 0.9$，$\mu = 0$，$\sigma = 1$，$\xi = 0.5$：$$x = \frac{1}{0.5}\cdot\left[(1 - 0.9)^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot\left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot[3.1622777 - 1] = 4.3245553$$。