什么是广义帕累托分布？
广义帕累托分布（Generalized Pareto Distribution，简称 GPD）是一种连续型概率分布，在极值理论中应用广泛，常用于刻画分布的尾部、阈值超出量（exceedances），以及金融、水文和可靠性工程中常见的重尾现象。它由三个参数决定：位置参数 \(\mu\)、尺度参数 \(\sigma\)（必须为正）以及控制尾部厚重程度的形状参数 \(\xi\)。这是一个纯数学工具，不涉及任何地区或法律辖区限制。
如何使用本计算器
首先选择要计算的函数：概率密度函数（PDF）、下累积分布函数（CDF）或上累积生存函数。接着输入三个参数 \(\mu\)、\(\sigma\) 和 \(\xi\)。然后通过设置初始值、步长增量和计算点数来定义 \(x\) 序列。计算器会输出一张 \((x, y)\) 数据表和一条折线图，同时给出第一个 \(x\) 处的单点函数值，方便快速查看。
公式详解
令 \(B = 1 + \xi(x - \mu)/\sigma\)。当 \(\xi\) 不为零时，密度函数为 $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi} - 1}, \qquad x \ge \mu$$ CDF 为 $$F(x) = 1 - \left(1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}}, \qquad x \ge \mu$$ 生存函数为 $$Q(x) = \left(1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P, \qquad x \ge \mu$$ 当 \(\xi\) 等于零时，分布退化为指数形式：\(f(x) = (1/\sigma)\exp(-(x-\mu)/\sigma)\)，\(P(x) = 1 - \exp(-(x-\mu)/\sigma)\)。当 \(\xi \ge 0\) 时支撑域为 \(x \ge \mu\)；当 \(\xi < 0\) 时支撑域为 \(\mu \le x \le \mu - \sigma/\xi\)。在支撑域之外，密度为 \(0\)，而 \(P\) 和 \(Q\) 取其边界值。
计算示例
以 CDF 为例，取 \(\mu = 1\)、\(\sigma = 1\)、\(\xi = 1\)，计算 \(x = 2\) 时的值。此时 \(B = 1 + 1\times(2-1)/1 = 2\)，因此 \(P = 1 - 2^{-1} = 0.5\)。同一点处的 PDF 为 \(2^{-2} = 0.25\)，生存函数 \(Q = 2^{-1} = 0.5\)，正好验证了 \(P + Q = 1\)。
常见问题
为什么 sigma 必须为正？\(\sigma\) 是尺度参数，会作为多个项的分母出现；若取非正值则在数学上无定义，因此本工具会对其加以限制。
当 xi = 0 时会发生什么？此时 GPD 退化为指数分布。当 \(|\xi|\) 小于一个极小的 epsilon 时，计算器会自动切换到指数公式，以避免除以零。
可以让 x 递减扫描吗？可以。只需将步长增量设为负数，即可按降序计算各个 \(x\) 值。
