什麼是廣義帕累托分布？
廣義帕累托分布（Generalized Pareto Distribution，簡稱 GPD）是一種連續型機率分布，廣泛應用於極值理論，用來建模分布的尾端、超過某門檻值的超額量，以及金融、水文學與可靠度工程中常見的厚尾現象。此分布由三個參數描述：位置參數 \(\mu\)、尺度參數 \(\sigma\)（必須為正值），以及控制尾端厚薄程度的形狀參數 \(\xi\)。它是一項純粹的數學工具，不涉及任何地區或司法管轄範圍。
如何使用本計算器
首先選擇您要計算的函數：機率密度函數（PDF）、下累積分布（CDF），或上累積存活函數。接著輸入三個參數 \(\mu\)、\(\sigma\) 與 \(\xi\)。然後透過起始值、步進增量與計算點數來定義 \(x\) 序列。計算器會產生一份 \((x, y)\) 數值對的表格與一張折線圖，並另外列出第一個 \(x\) 處的單一函數值，方便您快速參考。
公式說明
令 \(B = 1 + \xi\,(x - \mu)/\sigma\)。當 \(\xi\) 不為零時，密度函數為 $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi} - 1}, \qquad x \ge \mu$$ CDF 為 $$F(x) = 1 - \left(1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}}, \qquad x \ge \mu$$ 存活函數則為 $$Q(x) = \left(1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}}, \qquad x \ge \mu$$ 其中 \(Q = B^{-1/\xi} = 1 - P\)。當 \(\xi\) 等於零時，分布退化為指數形式：\(f(x) = (1/\sigma)\,\exp(-(x-\mu)/\sigma)\)，且 \(P(x) = 1 - \exp(-(x-\mu)/\sigma)\)。當 \(\xi \ge 0\) 時，定義域為 \(x \ge \mu\)；當 \(\xi < 0\) 時，定義域為 \(\mu \le x \le \mu - \sigma/\xi\)。在定義域之外，密度為 0，而 \(P\) 與 \(Q\) 則固定為其邊界值。
實例演算
以 CDF 為例，取 \(\mu = 1\)、\(\sigma = 1\)、\(\xi = 1\)，並在 \(x = 2\) 處計算。則 $$B = 1 + 1\cdot\frac{2-1}{1} = 2$$ 因此 \(P = 1 - 2^{-1} = 0.5\)。同一點的 PDF 為 \(2^{-2} = 0.25\)，存活函數為 \(Q = 2^{-1} = 0.5\)，驗證了 \(P + Q = 1\)。
常見問題
為什麼 sigma 必須為正值？\(\sigma\) 是尺度參數，會作為多個項的除數；若取非正值在數學上沒有定義，因此本工具會加以防範。
當 xi = 0 時會發生什麼？此時 GPD 會變成指數分布。當 \(|\xi|\) 小於一個極小的 epsilon 時，計算器會自動切換為指數公式，以避免發生除以零的情況。
我可以由大到小掃描 x 嗎？可以。只要將步進增量設為負值，即可依遞減順序計算各個 \(x\) 值。
