일반화 파레토 분포란?
일반화 파레토 분포(Generalized Pareto Distribution, GPD)는 극단값 이론(extreme value theory)에서 널리 쓰이는 연속확률분포입니다. 분포의 꼬리(tail), 특정 임계값을 초과하는 사건, 그리고 금융·수문학·신뢰성 공학 등에서 나타나는 두꺼운 꼬리(heavy-tail) 현상을 모형화하는 데 활용됩니다. 이 분포는 세 가지 모수로 정의됩니다. 위치 모수 \(\mu\), 양수여야 하는 척도 모수 \(\sigma\), 그리고 꼬리가 얼마나 두꺼운지를 결정하는 형상 모수 \(\xi\)입니다. 특정 국가나 제도에 종속되지 않는 순수한 수학 도구입니다.
계산기 사용 방법
먼저 계산할 함수를 고릅니다. 확률밀도함수(PDF), 누적분포함수(CDF), 또는 상위 누적 생존함수 중에서 선택하세요. 그다음 세 가지 모수 \(\mu\), \(\sigma\), \(\xi\)를 입력합니다. 이어서 \(x\) 수열을 정의하는데, 시작값과 증가 간격, 그리고 평가할 점의 개수를 지정하면 됩니다. 계산기는 \((x, y)\) 쌍으로 이루어진 표와 선 그래프를 만들어 주며, 빠르게 확인할 수 있도록 첫 번째 \(x\)에서의 함숫값 하나도 함께 보여 줍니다.
공식 설명
\(B = 1 + \xi\,\frac{x - \mu}{\sigma}\) 로 두겠습니다. \(\xi\)가 0이 아닐 때, 밀도함수는 $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,B^{-\frac{1}{\xi} - 1},$$ CDF는 $$P(x) = 1 - B^{-\frac{1}{\xi}},$$ 생존함수는 $$Q(x) = B^{-\frac{1}{\xi}} = 1 - P$$ 입니다. \(\xi\)가 0일 때는 분포가 지수분포 형태로 단순화됩니다. 즉 $$f(x) = \frac{1}{\sigma}\,\exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$$ $$P(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ 가 됩니다. 정의역(support)은 \(\xi \ge 0\) 일 때 \(x \ge \mu\) 이고, \(\xi < 0\) 일 때는 \(\mu \le x \le \mu - \frac{\sigma}{\xi}\) 입니다. 정의역을 벗어나면 밀도는 0이 되고, \(P\)와 \(Q\)는 각각 경곗값으로 고정됩니다.
계산 예시
\(\mu = 1\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 1\) 인 CDF를 \(x = 2\) 에서 구해 보겠습니다. 이때 \(B = 1 + 1\cdot\frac{2-1}{1} = 2\) 이므로 \(P = 1 - 2^{-1} = 0.5\) 입니다. 같은 점에서의 PDF는 \(2^{-2} = 0.25\) 이고, 생존함수는 \(Q = 2^{-1} = 0.5\) 로, \(P + Q = 1\) 임을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
\(\sigma\)는 왜 반드시 양수여야 하나요? \(\sigma\)는 여러 항을 나누는 척도 모수입니다. 0 이하의 값은 수학적으로 정의되지 않으므로, 계산기가 이를 막아 줍니다.
\(\xi = 0\) 일 때는 어떻게 되나요? GPD는 지수분포가 됩니다. 계산기는 \(|\xi|\)가 아주 작은 엡실론보다 작아지면 0으로 나누는 것을 피하기 위해 자동으로 지수분포 공식으로 전환합니다.
\(x\)를 감소시키면서 계산할 수도 있나요? 네. 증가 간격을 음수로 입력하면 \(x\) 값을 내림차순으로 평가할 수 있습니다.
