파레토 분포 계산기란?
이 계산기는 파레토 1형(Pareto Type I) 분포를 계산하는 도구입니다. 파레토 분포는 부의 분포, 도시 인구 규모, 파일 크기처럼 꼬리가 두꺼운(heavy-tailed) 현상을 모델링할 때 널리 쓰이는 연속확률분포입니다. 점 \(x\), 척도모수 \(x_m\), 형상모수 \(\alpha\)(꼬리 지수)를 입력하면 확률밀도(PDF), 하측(왼쪽) 누적확률 \(P(X \le x)\), 상측(오른쪽) 누적확률 \(P(X > x)\)을 한꺼번에 구할 수 있습니다. 특정 국가의 제도와는 무관한 순수 수학 도구입니다.
사용 방법
백분위 점 \(x\), 척도모수 \(x_m\)(0보다 커야 함), 형상모수 \(\alpha\)(0보다 커야 함)를 입력하세요. 계산기는 세 가지 값을 반환합니다. 하측과 상측 누적확률을 더하면 항상 1이 되므로, 결과가 맞는지 간단히 확인하는 데 활용할 수 있습니다.
공식 설명
파레토 분포의 정의역은 \(x \ge x_m\)입니다. \(x \ge x_m\)일 때 확률밀도는
$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$누적분포함수(CDF)는
$$P(X \le x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$생존함수는
$$P(X > x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$입니다. \(x\)가 \(x_m\)보다 작으면 정의역을 벗어나므로 \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\), \(Q(x) = 1\)이 됩니다. \(\alpha\)가 클수록 꼬리가 얇아지고, 큰 값이 나타날 확률이 더 빠르게 줄어듭니다.
계산 예시
\(x = 2\), \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\)인 경우를 살펴보겠습니다. 2는 1 이상이므로 정의역 안쪽(활성 구간)에 해당합니다. 비율 \(x_m/x = 0.5\)입니다. 따라서
$$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0.25$$$$F(2) = 1 - 0.5 = 0.5$$$$Q(2) = 0.5$$가 됩니다. 확인: \(0.5 + 0.5 = 1.0\).
자주 묻는 질문
형상모수 \(\alpha\)는 무엇을 의미하나요? \(\alpha\)는 꼬리 지수입니다. \(\alpha\)가 작을수록 꼬리가 두꺼워져(극단적으로 큰 값이 더 자주 나타남) 무겁고, \(\alpha\)가 클수록 꼬리가 얇아집니다.
\(x_m\)보다 작은 구간에서 확률밀도가 0인 이유는? 파레토 1형 분포는 \(x \ge x_m\)에서만 정의됩니다. 척도모수 \(x_m\)은 변수가 가질 수 있는 최솟값이기 때문입니다.
이 분포는 유한한 평균을 가지나요? 평균은 \(\alpha\)가 1보다 클 때만 존재하고, 분산은 \(\alpha\)가 2보다 클 때만 존재합니다.
