पैरेटो वितरण कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल पैरेटो टाइप I वितरण की गणना करता है — एक सतत प्रायिकता वितरण जिसका व्यापक उपयोग धन-संपत्ति, शहरों के आकार, फ़ाइल आकार और ऐसी अन्य "भारी पूँछ" (heavy-tailed) वाली परिघटनाओं को मॉडल करने में होता है। किसी बिंदु \(x\), पैमाना प्राचल (scale parameter) \(x_m\) और आकार प्राचल (shape parameter) \(\alpha\) (यानी टेल इंडेक्स) देने पर यह प्रायिकता घनत्व (PDF), निम्न (बाईं) संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\) और उच्च (दाईं) संचयी प्रायिकता \(P(X > x)\) लौटाता है। यह विशुद्ध रूप से एक गणितीय टूल है और किसी देश-विशेष से जुड़ा नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
परसेंटाइल बिंदु \(x\), पैमाना प्राचल \(x_m\) (जो 0 से बड़ा होना चाहिए) और आकार प्राचल \(\alpha\) (जो 0 से बड़ा होना चाहिए) दर्ज करें। कैलकुलेटर तीन मान देता है। निम्न और उच्च संचयी प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है — यह जाँचने का एक आसान तरीका है कि गणना सही है।
सूत्र की व्याख्या
पैरेटो वितरण का सपोर्ट \(x \ge x_m\) होता है। \(x \ge x_m\) के लिए घनत्व $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$ है, CDF $$F(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ है, और सर्वाइवल फ़ंक्शन $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ है। जब \(x\), \(x_m\) से छोटा हो तो चर अपने सपोर्ट से बाहर होता है, इसलिए \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) और \(Q(x) = 1\) होता है। \(\alpha\) जितना बड़ा होगा, पूँछ उतनी ही हल्की होगी और बड़े मानों की प्रायिकता उतनी ही तेज़ी से घटेगी।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x = 2\), \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\)। चूँकि 2, 1 से कम नहीं है, इसलिए सक्रिय शाखा (active branch) का उपयोग करें। अनुपात \(x_m/x = 0.5\) होगा। तब $$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0.25,$$ $$F(2) = 1 - 0.5 = 0.5,$$ और \(Q(2) = 0.5\)। जाँच: \(0.5 + 0.5 = 1.0\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
आकार प्राचल \(\alpha\) का क्या अर्थ है? यह टेल इंडेक्स है: छोटा \(\alpha\) भारी पूँछ देता है (अधिक चरम बड़े मान), जबकि बड़ा \(\alpha\) हल्की पूँछ देता है।
\(x_m\) से नीचे घनत्व 0 क्यों होता है? पैरेटो टाइप I वितरण केवल \(x \ge x_m\) के लिए परिभाषित है; पैमाना प्राचल इस चर का न्यूनतम संभव मान होता है।
क्या इस वितरण का माध्य (mean) परिमित होता है? माध्य केवल तभी मौजूद होता है जब \(\alpha\), 1 से बड़ा हो; और प्रसरण (variance) केवल तभी मौजूद होता है जब \(\alpha\), 2 से बड़ा हो।
