Что такое калькулятор распределения Парето?
Этот инструмент вычисляет характеристики распределения Парето I типа — непрерывного распределения вероятностей, которое широко применяется для моделирования распределения богатства, размеров городов, объёмов файлов и других явлений с «тяжёлым хвостом». По заданной точке \(x\), масштабному параметру \(x_m\) и параметру формы \(\alpha\) (индекс хвоста) калькулятор возвращает плотность вероятности (PDF), левую (нижнюю) кумулятивную вероятность \(P(X \le x)\) и правую (верхнюю) кумулятивную вероятность \(P(X > x)\). Это чисто математический инструмент, не привязанный к какой-либо стране.
Как пользоваться калькулятором
Введите точку \(x\) (перцентиль), масштабный параметр \(x_m\) (должен быть больше 0) и параметр формы \(\alpha\) (должен быть больше 0). Калькулятор выдаст три значения. Сумма нижней и верхней кумулятивных вероятностей всегда равна 1 — это удобный способ проверить результат.
Разбор формулы
Распределение Парето определено для значений \(x\), не меньших \(x_m\). При \(x \ge x_m\) плотность равна $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$ функция распределения — $$P(X \le x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ а функция выживания — $$P(X > x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ При \(x\) меньше \(x_m\) переменная выходит за пределы области определения, поэтому \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) и \(Q(x) = 1\). Чем больше \(\alpha\), тем легче хвост распределения и тем быстрее убывает вероятность больших значений.
Пример расчёта
Возьмём \(x = 2\), \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\). Поскольку 2 не меньше 1, используем рабочую ветвь формулы. Отношение \(x_m/x = 0{,}5\). Тогда $$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0{,}25$$ $$F(2) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$$ и \(Q(2) = 0{,}5\). Проверка: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0\).
Частые вопросы
Что означает параметр формы alpha? Это индекс хвоста: чем меньше \(\alpha\), тем тяжелее хвост (выше вероятность экстремально больших значений), а чем больше \(\alpha\) — тем хвост легче.
Почему плотность равна 0 при x меньше xm? Распределение Парето I типа определено только для \(x \ge x_m\); масштабный параметр задаёт минимально возможное значение случайной величины.
Существует ли конечное математическое ожидание? Среднее существует только при \(\alpha\) больше 1, а дисперсия — только при \(\alpha\) больше 2.
