Máy tính phân phối Pareto là gì?
Công cụ này tính toán phân phối Pareto loại I — một phân phối xác suất liên tục được dùng rộng rãi để mô hình hóa sự phân bố của cải, quy mô đô thị, kích thước tệp tin và nhiều hiện tượng có "đuôi dày" (heavy-tailed) khác. Khi bạn nhập điểm \(x\), tham số tỷ lệ \(x_m\) và tham số hình dạng \(\alpha\) (chỉ số đuôi), máy tính sẽ trả về mật độ xác suất (PDF), xác suất tích lũy dưới (bên trái) \(P(X \le x)\) và xác suất tích lũy trên (bên phải) \(P(X > x)\). Đây là công cụ toán học thuần túy, không gắn với quy định của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập điểm phân vị \(x\), tham số tỷ lệ \(x_m\) (phải lớn hơn 0) và tham số hình dạng \(\alpha\) (phải lớn hơn 0). Máy tính sẽ cho ra ba kết quả. Lưu ý rằng xác suất tích lũy dưới và xác suất tích lũy trên luôn cộng lại bằng 1 — đây là cách kiểm tra nhanh để biết kết quả có hợp lý hay không.
Giải thích công thức
Phân phối Pareto chỉ xác định với \(x \ge x_m\). Khi \(x \ge x_m\), hàm mật độ là
$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$hàm phân phối tích lũy là
$$F(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$và hàm sống sót (survival function) là
$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Khi \(x\) nhỏ hơn \(x_m\), biến nằm ngoài miền xác định nên \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) và \(Q(x) = 1\). Giá trị \(\alpha\) càng lớn thì đuôi phân phối càng "nhẹ" và xác suất xuất hiện các giá trị lớn giảm càng nhanh.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 2\), \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\). Vì \(2 \ge 1\) nên ta dùng nhánh chính. Tỷ số \(x_m/x = 0{,}5\). Khi đó
$$f(2) = \frac{1 \cdot 1}{2^2} = 0{,}25$$$$F(2) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$$$$Q(2) = 0{,}5$$Kiểm tra lại: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0\).
Câu hỏi thường gặp
Tham số hình dạng alpha có ý nghĩa gì? Đó là chỉ số đuôi: \(\alpha\) càng nhỏ thì đuôi càng dày (xuất hiện nhiều giá trị cực lớn hơn), \(\alpha\) càng lớn thì đuôi càng nhẹ.
Vì sao mật độ bằng 0 khi x nhỏ hơn xm? Phân phối Pareto loại I chỉ được xác định với \(x \ge x_m\); tham số tỷ lệ \(x_m\) chính là giá trị nhỏ nhất mà biến có thể nhận.
Phân phối này có kỳ vọng hữu hạn không? Kỳ vọng (giá trị trung bình) chỉ tồn tại khi \(\alpha\) lớn hơn 1; phương sai chỉ tồn tại khi \(\alpha\) lớn hơn 2.
