Máy tính phân phối Pareto là gì?
Công cụ này tính giá trị của phân phối Pareto (loại I) — một phân phối lũy thừa có đuôi nặng kinh điển, thường dùng để mô hình hóa sự phân bố của cải, quy mô đô thị, kích thước tập tin và quy luật “80/20”. Khi cho trước tham số tỷ lệ xm (giá trị nhỏ nhất) và tham số hình dạng alpha, công cụ sẽ tính mật độ xác suất f, xác suất tích lũy phía dưới (CDF) P và xác suất tích lũy phía trên (hàm sống sót) Q tại bất kỳ điểm x nào. Đây là một công cụ thống kê thuần toán học, không gắn với giả định của bất kỳ quốc gia hay khu vực nào.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn hàm bạn muốn tính (mật độ, CDF hoặc hàm sống sót). Sau đó nhập tham số tỷ lệ xm (phải lớn hơn 0), tham số hình dạng alpha (phải lớn hơn 0) và điểm x (giá trị x ban đầu). Phần bước nhảy và số lần lặp là tùy chọn, dùng để mô tả một chuỗi điểm x phục vụ việc vẽ đồ thị: \(x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) với \(i = 0 \,..\, \text{loopCount}-1\).
Giải thích công thức
Với \(x \ge x_m > 0\) và \(\alpha > 0\):
Mật độ:
$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}$$CDF:
$$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Hàm sống sót:
$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Lưu ý rằng luôn có \(P + Q = 1\). Khi \(x < x_m\) thì chưa nằm trong miền xác định, nên \(f = 0\), \(P = 0\) và \(Q = 1\).
Ví dụ minh họa
Lấy \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\), \(x = 2\). Khi đó $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0{,}25,$$ $$P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5$$ và $$Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5.$$ Kiểm tra: \(P + Q = 1{,}0\). Với \(x_m = 2\), \(\alpha = 3\), \(x = 4\): $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0{,}09375,$$ \(P = 1 - 0{,}125 = 0{,}875\), \(Q = 0{,}125\).
Câu hỏi thường gặp
Tham số hình dạng alpha quyết định điều gì? Alpha càng lớn thì đuôi phân phối suy giảm càng nhanh (đuôi càng nhẹ); giá trị trung bình chỉ hữu hạn khi \(\alpha > 1\).
Vì sao mật độ bằng 0 khi x nhỏ hơn xm? Phân phối Pareto chỉ có miền xác định trên \(x \ge x_m\), nên không có khối xác suất nào tồn tại dưới giá trị tham số tỷ lệ.
Hàm sống sót là gì? \(Q(x)\) là xác suất để một biến ngẫu nhiên vượt quá \(x\), tức là CDF bù, bằng \(1 - P(x)\).
