¿Qué es la calculadora de la distribución de Pareto?
Esta herramienta evalúa la distribución de Pareto (tipo I), una clásica distribución de ley de potencias con cola pesada que se utiliza para modelar la riqueza, el tamaño de las ciudades, el tamaño de los archivos o la conocida regla del «80/20». A partir de un parámetro de escala xm (el valor mínimo) y un parámetro de forma alfa, calcula la densidad de probabilidad f, la probabilidad acumulada inferior (CDF) P y la probabilidad acumulada superior (función de supervivencia) Q en cualquier punto x. Es una herramienta puramente matemática y estadística, sin supuestos regionales de ningún tipo.
Cómo utilizarla
Elige la función que quieres calcular (densidad, CDF o supervivencia). Introduce el parámetro de escala xm (debe ser mayor que 0), el parámetro de forma alfa (debe ser mayor que 0) y el punto x (el valor inicial de x). El incremento y el número de repeticiones son opcionales y definen una serie de puntos de x para trazar una gráfica: $$x_i = x_{\text{Inicial}} + i \times \text{pasoX} \quad \text{para } i = 0 \,..\, n_{\text{Repeticiones}} - 1.$$
La fórmula explicada
Para \(x \ge x_m > 0\) y \(\alpha > 0\):
Densidad: $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}.$$ CDF: $$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}.$$ Supervivencia: $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}.$$ Ten en cuenta que \(P + Q = 1\) siempre. Cuando \(x < x_m\) aún no se alcanza el soporte de la distribución, por lo que \(f = 0\), \(P = 0\) y \(Q = 1\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\), \(x = 2\). Entonces $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0{,}25, \quad P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5, \quad Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5.$$ Comprobación: \(P + Q = 1{,}0\). Para \(x_m = 2\), \(\alpha = 3\), \(x = 4\): $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0{,}09375, \quad P = 1 - 0{,}125 = 0{,}875, \quad Q = 0{,}125.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué controla el parámetro de forma alfa? Un \(\alpha\) mayor hace que la cola decaiga más rápido (es decir, menos pesada); la media solo es finita cuando \(\alpha > 1\).
¿Por qué la densidad es cero por debajo de xm? La distribución de Pareto solo tiene soporte en \(x \ge x_m\), de modo que no existe masa de probabilidad por debajo del parámetro de escala.
¿Qué es la función de supervivencia? \(Q(x)\) es la probabilidad de que una variable aleatoria supere \(x\), es decir, la CDF complementaria, igual a \(1 - P(x)\).
