帕累托分布计算器是什么？
这款工具用于计算帕累托（第一类）分布——一种经典的重尾幂律分布，常用来刻画财富、城市规模、文件大小以及著名的"二八定律"。只要给定尺度参数 xm（即最小取值）和形状参数 alpha，它就能在任意点 x 处算出概率密度 f、下侧累积概率（CDF）P，以及上侧累积概率（生存函数）Q。这是一款纯数学统计工具，不涉及任何地区或国别的特定假设，全球通用。
使用方法
先选择你想计算的函数（概率密度、CDF 或生存函数）。然后输入尺度参数 xm（必须大于 0）、形状参数 alpha（必须大于 0），以及计算点 x（x 的起始值）。增量和重复次数为可选项，用于描述一系列 x 点以便绘制曲线：\(x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}\)，其中 \(i = 0 \ldots \text{loopCount}-1\)。
公式详解
当 x ≥ xm > 0 且 alpha > 0 时：
概率密度：$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}} \quad (x \ge x_m)$$累积分布（CDF）：$$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha} \quad (x \ge x_m)$$生存函数：$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha} \quad (x \ge x_m)$$注意 \(P + Q\) 恒等于 1。当 x < xm 时尚未进入分布的取值范围，因此 \(f = 0\)、\(P = 0\)、\(Q = 1\)。
实例演算
设 \(x_m = 1\)、\(\alpha = 1\)、\(x = 2\)，则 $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0.25,\quad P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5,\quad Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5$$验证：\(P + Q = 1.0\)。再设 \(x_m = 2\)、\(\alpha = 3\)、\(x = 4\)，则 $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0.09375,\quad P = 1 - 0.125 = 0.875,\quad Q = 0.125$$
常见问题
形状参数 alpha 起什么作用？alpha 越大，尾部衰减得越快（尾部越"轻"）；只有当 alpha > 1 时，分布的均值才是有限的。
为什么 xm 以下密度为零？帕累托分布的取值范围仅限于 x ≥ xm，因此在尺度参数以下不存在任何概率质量。
生存函数是什么？\(Q(x)\) 表示随机变量超过 x 的概率，也就是 CDF 的补函数，等于 \(1 - P(x)\)。
