À quoi sert le calculateur de loi de Pareto ?
Cet outil évalue la loi de Pareto (type I) — une célèbre loi de puissance à queue lourde utilisée pour modéliser la répartition des richesses, la taille des villes, le poids des fichiers ou encore la fameuse règle des « 80/20 ». À partir d'un paramètre d'échelle xm (la valeur minimale) et d'un paramètre de forme alpha, il calcule la densité de probabilité f, la probabilité cumulée inférieure (fonction de répartition) P et la probabilité cumulée supérieure (fonction de survie) Q en tout point x. Il s'agit d'un outil de statistiques purement mathématique, sans aucune hypothèse régionale.
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord la fonction souhaitée (densité, fonction de répartition ou fonction de survie). Saisissez ensuite le paramètre d'échelle xm (strictement supérieur à 0), le paramètre de forme alpha (strictement supérieur à 0) et le point x (la valeur initiale de x). L'incrément et le nombre de répétitions, facultatifs, permettent de définir une série de points x pour tracer une courbe : \(x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) pour \(i = 0\) à \(\text{loopCount} - 1\).
La formule expliquée
Pour \(x \ge x_m > 0\) et \(\alpha > 0\) :
Densité :
$$f(x) = \frac{\alpha \cdot x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}$$Fonction de répartition :
$$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Fonction de survie :
$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$On a toujours \(P + Q = 1\). Lorsque \(x < x_m\), le support n'est pas encore atteint : \(f = 0\), \(P = 0\) et \(Q = 1\).
Exemple détaillé
Prenons \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\), \(x = 2\). On obtient
$$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0{,}25, \quad P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5, \quad Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5$$Vérification : \(P + Q = 1{,}0\). Pour \(x_m = 2\), \(\alpha = 3\), \(x = 4\) :
$$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0{,}09375, \quad P = 1 - 0{,}125 = 0{,}875, \quad Q = 0{,}125$$FAQ
Que contrôle le paramètre de forme alpha ? Plus \(\alpha\) est grand, plus la queue de distribution décroît rapidement (queue moins lourde) ; la moyenne n'est finie que lorsque \(\alpha > 1\).
Pourquoi la densité est-elle nulle en dessous de xm ? La loi de Pareto n'est définie que sur \(x \ge x_m\) : aucune masse de probabilité n'existe en deçà du paramètre d'échelle.
Qu'est-ce que la fonction de survie ? \(Q(x)\) est la probabilité qu'une variable aléatoire dépasse \(x\), c'est-à-dire la fonction de répartition complémentaire, égale à \(1 - P(x)\).
