Что такое калькулятор распределения Парето?
Этот инструмент вычисляет распределение Парето (тип I) — классическое «тяжелохвостое» степенное распределение, которым моделируют распределение богатства, размеры городов, размеры файлов и знаменитое правило «80/20». По заданным масштабному параметру xm (минимальное значение) и параметру формы alpha калькулятор рассчитывает плотность вероятности f, функцию распределения (CDF) P и дополнительную функцию распределения, или функцию выживания, Q в любой точке x. Это чисто математический статистический инструмент без каких-либо региональных особенностей.
Как пользоваться калькулятором
Выберите нужную функцию (плотность, функцию распределения или функцию выживания). Введите масштабный параметр xm (должен быть больше 0), параметр формы alpha (должен быть больше 0) и точку x (начальное значение x). Необязательные поля «шаг» и «число повторений» задают серию точек x для построения графика: \(x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) при \(i = 0 \,..\, \text{loopCount}-1\).
Разбор формулы
При \(x \ge x_m > 0\) и \(\alpha > 0\) справедливы следующие выражения:
Плотность:
$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}$$Функция распределения:
$$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Функция выживания:
$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$Обратите внимание, что всегда \(P + Q = 1\). Если \(x < x_m\), область определения ещё не достигнута, поэтому \(f = 0\), \(P = 0\) и \(Q = 1\).
Пример расчёта
Пусть \(x_m = 1\), \(\alpha = 1\), \(x = 2\). Тогда $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0{,}25,\quad P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5,\quad Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5.$$ Проверка: \(P + Q = 1{,}0\). Для \(x_m = 2\), \(\alpha = 3\), \(x = 4\): $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0{,}09375,\quad P = 1 - 0{,}125 = 0{,}875,\quad Q = 0{,}125.$$
Частые вопросы
За что отвечает параметр формы alpha? Чем больше \(\alpha\), тем быстрее затухает хвост распределения (он становится «легче»); математическое ожидание конечно только при \(\alpha > 1\).
Почему плотность равна нулю ниже xm? Распределение Парето определено только при \(x \ge x_m\), поэтому ниже масштабного параметра вероятностной массы нет.
Что такое функция выживания? \(Q(x)\) — это вероятность того, что случайная величина превысит \(x\), то есть дополнительная функция распределения, равная \(1 - P(x)\).
