パレート分布計算（確率密度・累積分布・生存関数）

計算を入力してください

結果

選択した関数の値

点xでの値

確率密度 f	1
下側累積確率 P	0
上側累積確率 Q	1

パレート分布計算ツールとは

このツールはパレート分布（第I種）を計算します。パレート分布は裾の重い（ヘビーテール）べき乗則型の代表的な分布で、富の偏在、都市の規模、ファイルサイズ、いわゆる「80対20の法則（パレートの法則）」などのモデル化に用いられます。尺度パラメータ $x_m$（最小値）と形状パラメータ $\alpha$ を与えると、任意の点 $x$ における確率密度 $f$、下側累積確率（CDF）$P$、上側累積確率（生存関数）$Q$ を計算します。地域や制度に依存しない純粋な数学・統計の計算ツールです。

複数の形状パラメータに対するパレート分布の確率密度曲線 — パレート分布のPDF $f(x)$：曲線はスケール $x_m$ から始まり、裾の重い形で減衰し、$\alpha$が大きいほど急になる。

使い方

まず計算したい関数（確率密度・下側累積確率・上側累積確率）を選びます。次に尺度パラメータ $x_m$（0より大きい値）、形状パラメータ $\alpha$（0より大きい値）、点 $x$（xの初期値）を入力します。任意項目の「増分」と「繰り返し回数」を指定すると、グラフ描画用に複数のx点を生成できます。各点は $x_i = \text{初期値} + i \times \text{増分}$（$i = 0 \sim \text{繰り返し回数}-1$）で求められます。

計算式の解説

$x \ge x_m > 0$ かつ $\alpha > 0$ のとき、次の式が成り立ちます。

確率密度：$$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}} \quad (x \ge x_m)$$下側累積確率（CDF）：$$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha} \quad (x \ge x_m)$$上側累積確率（生存関数）：$$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha} \quad (x \ge x_m)$$常に $P + Q = 1$ が成り立ちます。なお $x < x_m$ の範囲は分布の台（サポート）に含まれないため、$f = 0$、$P = 0$、$Q = 1$ となります。

相補的な面積として示したパレート分布の累積分布関数と生存関数 — CDF $P(x)$ と生存関数 $Q(x)$ は相補的：$P(x) + Q(x) = 1$。

計算例

$x_m = 1$、$\alpha = 1$、$x = 2$ のとき、$$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0.25$$ $$P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5$$ $$Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5$$となります。検算：$P + Q = 1.0$。次に $x_m = 2$、$\alpha = 3$、$x = 4$ のとき、$$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0.09375$$ $$P = 1 - 0.125 = 0.875$$ $$Q = 0.125$$となります。