柏拉圖分布計算器

輸入計算

選擇函數 機率密度 f(x, xm, alpha) 下側累積分布 P(x, xm, alpha) 上側累積分布 Q(x, xm, alpha)

尺度參數 xm

形狀參數 alpha

x 的起始值

增量

重複次數

結果

所選函數的計算值

1

於 x 處求值

機率密度 f	1
下側累積機率 P	0
上側累積機率 Q	1

什麼是柏拉圖分布計算器？

這個工具用來計算柏拉圖（第一型）分布──一種經典的重尾冪律分布，常用於描述財富分布、城市規模、檔案大小，以及大家熟知的「80/20 法則」。只要給定尺度參數 xm（即最小值）與形狀參數 alpha，它就能算出任意點 x 處的機率密度 f、下側累積機率（CDF）P，以及上側累積機率（生存函數）Q。它是一個純數學的統計工具，不涉及任何地區或國別的假設，全球通用。

帕累托 PDF f(x)：曲線從尺度 x_m 開始，以重尾衰減，alpha 越大越陡。

使用方式

先選擇你要計算的函數（密度、CDF 或生存函數）。接著輸入尺度參數 xm（必須大於 0）、形狀參數 alpha（必須大於 0），以及計算點 x（x 的起始值）。增量與重複次數為選填項目，用來產生一系列 x 點以便繪製圖形：x_i = startX + i × stepX，其中 i = 0 至 loopCount−1。

公式說明

當 x ≥ xm > 0 且 alpha > 0 時：

機率密度：f(x) = alpha · xm^alpha / x^(alpha+1)。累積分布（CDF）：P(x) = 1 − (xm/x)^alpha。生存函數：Q(x) = (xm/x)^alpha。請注意 P + Q 恆等於 1。當 x < xm 時尚未進入分布的定義域，因此 f = 0、P = 0、Q = 1。

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CDF P(x) 與生存函數 Q(x) 互補：P(x) + Q(x) = 1。

實際範例

設 xm = 1、alpha = 1、x = 2，則 f = 1 · 1 / 2² = 0.25，P = 1 − (1/2)¹ = 0.5，Q = (1/2)¹ = 0.5。驗算：P + Q = 1.0。再看 xm = 2、alpha = 3、x = 4：f = 3 · 8 / 256 = 0.09375，P = 1 − 0.125 = 0.875，Q = 0.125。

常見問題

形狀參數 alpha 控制什麼？alpha 越大，尾端衰減得越快（尾巴越輕）；唯有當 alpha > 1 時，分布的平均數才為有限值。

為什麼在 xm 以下密度為零？柏拉圖分布的定義域只在 x ≥ xm，因此在尺度參數以下不存在任何機率質量。

什麼是生存函數？Q(x) 表示隨機變數超過 x 的機率，也就是互補累積分布函數，等於 1 − P(x)。