Pareto Dağılımı Hesaplama Aracı nedir?
Bu araç, Pareto (Tip I) dağılımını değerlendirir — servet dağılımı, şehir nüfusları, dosya boyutları ve meşhur "80/20 kuralı" gibi olguları modellemek için kullanılan, ağır kuyruklu klasik bir üstel (power-law) dağılımdır. Bir ölçek parametresi \(x_m\) (en küçük değer) ve bir şekil parametresi \(\alpha\) verildiğinde araç; herhangi bir \(x\) noktasında olasılık yoğunluğu \(f\)'yi, alt kümülatif olasılık (CDF) \(P\)'yi ve üst kümülatif olasılık (sağkalım fonksiyonu) \(Q\)'yu hesaplar. Tamamen matematiksel bir istatistik aracıdır; herhangi bir bölgeye veya ülkeye özgü varsayım içermez.
Nasıl kullanılır?
Önce hangi fonksiyonu istediğinizi seçin (yoğunluk, CDF veya sağkalım). Ardından ölçek parametresi \(x_m\)'yi (0'dan büyük olmalı), şekil parametresi \(\alpha\)'yı (0'dan büyük olmalı) ve \(x\) noktasını (x'in başlangıç değeri) girin. İsteğe bağlı artış miktarı ve tekrar sayısı, bir grafik çizmek için kullanılacak x noktaları dizisini tanımlar: \(x_i = \text{başlangıçX} + i \times \text{adımX}\), burada \(i = 0 \,..\, \text{tekrarSayısı} - 1\).
Formülün açıklaması
\(x \ge x_m > 0\) ve \(\alpha > 0\) için:
Yoğunluk: $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}$$ CDF: $$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ Sağkalım: $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ Her zaman \(P + Q = 1\) olduğuna dikkat edin. \(x < x_m\) olduğunda dağılımın tanım aralığına henüz ulaşılmadığından \(f = 0\), \(P = 0\) ve \(Q = 1\) olur.
Çözümlü örnek
\(x_m = 1\), \(\alpha = 1\), \(x = 2\) alalım. Bu durumda $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0{,}25$$ $$P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5$$ ve $$Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0{,}5$$ olur. Kontrol: \(P + Q = 1{,}0\). \(x_m = 2\), \(\alpha = 3\), \(x = 4\) için: $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0{,}09375$$ $$P = 1 - 0{,}125 = 0{,}875$$ \(Q = 0{,}125\).
Sıkça sorulan sorular
Şekil parametresi \(\alpha\) neyi belirler? \(\alpha\) büyüdükçe kuyruk daha hızlı sönümlenir (yani daha hafif olur); ortalama yalnızca \(\alpha > 1\) olduğunda sonludur.
Yoğunluk neden \(x_m\)'nin altında sıfırdır? Pareto dağılımı yalnızca \(x \ge x_m\) aralığında tanımlıdır; bu nedenle ölçek parametresinin altında hiçbir olasılık kütlesi bulunmaz.
Sağkalım fonksiyonu nedir? \(Q(x)\), rastgele bir değişkenin x'i aşma olasılığıdır; yani tamamlayıcı CDF olup \(1 - P(x)\)'e eşittir.
