파레토 분포 계산기란?
이 도구는 파레토(제1종) 분포를 계산합니다. 파레토 분포는 부의 분포, 도시 규모, 파일 크기, 그리고 흔히 말하는 '80 대 20 법칙'을 설명할 때 쓰이는 대표적인 두꺼운 꼬리(heavy-tailed) 멱법칙 분포입니다. 척도모수 \(x_m\)(최솟값)과 형상모수 \(\alpha\)를 입력하면, 임의의 점 \(x\)에서 확률밀도 \(f\), 하측 누적확률(CDF) \(P\), 상측 누적확률(생존함수) \(Q\)를 구할 수 있습니다. 특정 국가의 규정이나 지역적 가정이 전혀 없는 순수 수학·통계 계산 도구입니다.
사용 방법
먼저 원하는 함수(밀도, CDF, 생존함수)를 선택하세요. 이어서 척도모수 \(x_m\)(0보다 커야 함), 형상모수 \(\alpha\)(0보다 커야 함), 그리고 점 \(x\)(x의 시작값)를 입력합니다. 선택 항목인 증분과 반복 횟수는 그래프를 그릴 때 사용할 x 값들의 수열을 정의합니다. 즉 i = 0 ~ loopCount−1에 대해 \(x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) 로 계산됩니다.
공식 설명
\(x \ge x_m > 0\) 이고 \(\alpha > 0\) 일 때:
밀도: $$f(x) = \frac{\alpha\;x_m^{\alpha}}{x^{\,\alpha+1}}$$ CDF: $$P(x) = 1 - \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ 생존함수: $$Q(x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}$$ 항상 \(P + Q = 1\) 이 성립합니다. \(x < x_m\) 인 경우에는 아직 분포의 정의역에 도달하지 않았으므로 \(f = 0\), \(P = 0\), \(Q = 1\) 이 됩니다.
계산 예시
\(x_m = 1\), \(\alpha = 1\), \(x = 2\) 라고 하면, $$f = \frac{1 \cdot 1}{2^{2}} = 0.25$$ $$P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5$$ $$Q = \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.5$$ 입니다. 확인하면 \(P + Q = 1.0\) 이 맞습니다. \(x_m = 2\), \(\alpha = 3\), \(x = 4\) 인 경우에는 $$f = \frac{3 \cdot 8}{256} = 0.09375$$ $$P = 1 - 0.125 = 0.875$$ \(Q = 0.125\) 가 됩니다.
자주 묻는 질문
형상모수 \(\alpha\)는 무엇을 결정하나요? \(\alpha\)가 클수록 꼬리가 더 빠르게 감소합니다(꼬리가 덜 두꺼워짐). 또한 평균은 \(\alpha > 1\) 일 때에만 유한한 값을 가집니다.
왜 \(x_m\) 아래에서는 밀도가 0인가요? 파레토 분포는 \(x \ge x_m\) 구간에서만 정의되므로, 척도모수보다 작은 값에는 확률이 전혀 존재하지 않습니다.
생존함수란 무엇인가요? \(Q(x)\)는 확률변수가 \(x\)를 초과할 확률, 즉 여누적분포(complementary CDF)를 뜻하며 \(1 - P(x)\)와 같습니다.
