레비 분포란?
레비 분포(Lévy distribution)는 위치 모수 mu보다 큰 값에서 정의되는 연속형 확률분포로, 꼬리가 두꺼운(heavy-tailed) 것이 특징입니다. 두 개의 모수를 가지는데, 하나는 분포가 시작되는 위치를 옮기는 위치 모수 mu이고, 다른 하나는 분포를 늘려 펼치는 척도 모수 c(반드시 양수)입니다. 레비 분포는 안정 분포(stable distribution)의 한 종류로, 물리학(브라운 운동의 첫 통과 시간), 금융, 이상 확산(anomalous diffusion) 연구 등에서 등장합니다. 특히 평균과 분산이 모두 무한대로 발산하기 때문에, 이 도구는 요약 통계량(적률) 대신 확률밀도와 누적확률을 계산해 보여줍니다.
계산기 사용법
먼저 표시할 곡선을 선택하세요. 확률밀도함수 f, 하측 누적확률 P, 상측 누적확률 Q 중에서 고를 수 있습니다. 그런 다음 위치 모수 mu와 양수인 척도 모수 c를 입력합니다. 이어서 계산할 x 범위를 시작값, 증분(스텝), 점의 개수로 정의합니다. 계산기는 각 점에서 x를 계산하고, 첫 번째 x에서의 f, P, Q 값을 출력하며, 선택한 함수를 해당 범위 전체에 걸쳐 곡선으로 그려 줍니다.
수식 풀이
\(s = x - mu\)라고 하겠습니다. \(s > 0\)일 때 확률밀도는 다음과 같습니다.
$$f(\text{x}) = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}}}{\left(\text{x} - \text{mu}\right)^{3/2}}$$하측 누적분포는 다음과 같으며,
$$\begin{gathered} P(\text{x}) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$여기서 erfc는 여오차함수(complementary error function)입니다. 상측(생존) 함수는 다음과 같습니다.
$$\begin{gathered} Q(\text{x}) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$x가 mu 이하인 경우에는 확률질량이 존재하지 않으므로 \(f = 0\), \(P = 0\), \(Q = 1\)이 됩니다. 오차함수는 Abramowitz & Stegun 7.1.26의 유리식 근사를 사용해 계산합니다.
계산 예시
\(mu = 0\), \(c = 1\), \(x = 1\)인 경우: \(s = 1\)이므로 \(f = \sqrt{1/(2\pi)} \cdot \exp(-0.5) = 0.398942 \cdot 0.606531 \approx 0.24197\)입니다. 인수 \(z = \sqrt{1/2} = 0.70711\)이고 \(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\)이므로 \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0.31731\), \(Q \approx 0.68269\)가 됩니다. 이는 표준 레비(0,1) 분포의 값과 일치합니다.
자주 묻는 질문
c는 왜 0보다 커야 하나요? 척도 모수는 분포의 퍼짐 정도를 결정합니다. c가 0 이하이면 확률밀도가 정의되지 않으므로, 이 계산기는 \(c > 0\) 조건을 요구합니다.
x가 mu보다 작으면 어떻게 되나요? 그 구간에서는 분포가 정의되지 않으므로 \(f = 0\), 하측 누적확률 \(P = 0\), 상측 누적확률 \(Q = 1\)이 됩니다.
왜 평균과 분산이 없나요? 레비 분포는 꼬리가 매우 두꺼워 평균과 분산이 무한대로 발산합니다. 그래서 유한한 요약 적률을 제공하지 않습니다.
