Qu'est-ce que la loi de Lévy ?
La loi de Lévy est une loi de probabilité continue à queue lourde, définie pour les valeurs supérieures à un paramètre de position mu. Elle repose sur deux paramètres : le paramètre de position mu, qui détermine le point de départ du support, et le paramètre d'échelle c (obligatoirement positif), qui étire la distribution. Il s'agit d'une loi stable que l'on rencontre en physique (temps de premier passage du mouvement brownien), en finance et dans l'étude de la diffusion anormale. Fait remarquable : sa moyenne et sa variance sont toutes deux infinies, raison pour laquelle cet outil affiche la densité et les probabilités cumulées plutôt que des moments synthétiques.
Comment utiliser cette calculatrice
Choisissez la courbe à afficher : la densité de probabilité f, la répartition cumulée inférieure P ou la répartition cumulée supérieure Q. Saisissez le paramètre de position mu ainsi qu'un paramètre d'échelle c strictement positif. Définissez ensuite la plage de x à évaluer à l'aide d'une valeur de départ, d'un incrément (pas) et d'un nombre de points. La calculatrice évalue x en chaque point, affiche f, P et Q pour le premier x, et trace la fonction sélectionnée sous forme de courbe sur l'ensemble de la plage.
La formule expliquée
Posons \(s = x - \text{mu}\). Pour \(s > 0\), la densité vaut $$f(x) = \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \cdot e^{-\frac{c}{2s}} \cdot s^{-3/2}.$$ La fonction de répartition cumulée inférieure est $$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2s}}\right),$$ où erfc désigne la fonction d'erreur complémentaire, et la fonction de survie (cumulée supérieure) est $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2s}}\right).$$ Pour x inférieur ou égal à mu, il n'y a aucune masse de probabilité : \(f = 0\), \(P = 0\) et \(Q = 1\). La fonction d'erreur est calculée à l'aide de l'approximation rationnelle 7.1.26 d'Abramowitz et Stegun.
Exemple résolu
Avec \(\text{mu} = 0\), \(c = 1\) et \(x = 1\) : \(s = 1\), donc $$f = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}398942 \cdot 0{,}606531 \approx 0{,}24197.$$ L'argument \(z = \sqrt{1/2} = 0{,}70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0{,}68269\), d'où \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0{,}31731\) et \(Q \approx 0{,}68269\) — soit les valeurs standard de la loi de Lévy(0,1).
Foire aux questions
Pourquoi c doit-il être strictement supérieur à 0 ? Le paramètre d'échelle fixe la dispersion de la distribution ; un c négatif ou nul rend la densité indéfinie, c'est pourquoi la calculatrice exige \(c > 0\).
Que se passe-t-il pour x inférieur à mu ? La distribution n'a aucun support dans cette zone : \(f = 0\), la répartition cumulée inférieure \(P = 0\) et la répartition cumulée supérieure \(Q = 1\).
Pourquoi n'y a-t-il ni moyenne ni variance ? La loi de Lévy a une queue tellement lourde que sa moyenne et sa variance divergent vers l'infini ; aucun moment synthétique fini n'est donc affiché.
