什麼是 Lévy 分布？
Lévy 分布是一種連續、具有重尾（heavy-tailed）特性的機率分布，僅定義在大於位置參數 mu 的數值上。它有兩個參數：位置參數 mu，用來決定分布支撐區間的起點；以及尺度參數 c（必須為正），用來伸縮分布的形狀。Lévy 分布屬於穩定分布（stable distribution）家族，常見於物理學（布朗運動的首達時間）、財務金融，以及異常擴散（anomalous diffusion）的研究。值得注意的是，它的平均數與變異數都是無限大，這也是為什麼本工具只輸出密度與累積機率，而不提供平均數、變異數等統計量。
如何使用這個計算器
首先選擇要顯示的曲線：機率密度函數 \(f\)、下側累積機率 \(P\)，或上側累積機率 \(Q\)。接著輸入位置參數 mu 與正的尺度參數 c。然後透過起始值、增量（step）與點數三項設定，定義要計算的 x 範圍。計算器會在每個點上求出 x 值，列出第一個 x 對應的 \(f\)、\(P\) 與 \(Q\)，並把所選函數以曲線形式繪製在整個範圍上。
公式說明
令 \(s = x - mu\)。當 \(s > 0\) 時，密度為 $$f(x) = \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \cdot e^{-\frac{c}{2s}} \cdot s^{-3/2}$$ 下側累積分布為 $$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2s}}\right)$$ 其中 erfc 為互補誤差函數；而上側（存活）函數為 $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2s}}\right)$$ 當 x 等於或小於 mu 時，該處沒有機率質量，因此 \(f = 0\)、\(P = 0\)、\(Q = 1\)。誤差函數採用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 的有理逼近式計算。
實際範例
當 \(mu = 0\)、\(c = 1\)、\(x = 1\) 時：\(s = 1\)，因此 $$f = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot e^{-0.5} = 0.398942 \cdot 0.606531 \approx 0.24197$$ 引數 \(z = \sqrt{1/2} = 0.70711\)，\(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\)，所以 \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0.31731\)，\(Q \approx 0.68269\) —— 這正是標準 Lévy(0,1) 的數值。
常見問題
為什麼 c 必須大於 0？尺度參數決定了分布的離散程度；若 c 為非正數，密度將無法定義，因此計算器要求 \(c > 0\)。
當 x 小於 mu 時會怎樣？分布在該區間沒有支撐，所以 \(f = 0\)、下側累積機率 \(P = 0\)、上側累積機率 \(Q = 1\)。
為什麼沒有平均數與變異數？Lévy 分布的尾部極重，導致平均數與變異數都發散到無限大，因此無法提供任何有限的統計摘要值。
