什麼是拉普拉斯分布？
拉普拉斯分布（Laplace distribution）又稱雙指數分布，是一種連續型機率分布，形狀就像兩條指數曲線在中央峰值處背靠背接合而成。它由兩個參數決定：位置參數 a（其平均數、中位數與眾數三者都落在此處），以及尺度參數 b（必須大於零，用來控制尾端衰減的快慢）。它常見於訊號處理、穩健統計、貝氏 LASSO 先驗分布，以及資料尾端比常態分布更厚（厚尾）的各種模型中。
如何使用本計算器
先用 函數選擇 的選項按鈕決定要計算的量：機率密度 f、下累積機率 P（即 CDF），或上累積機率 Q。接著輸入位置參數 a 與一個正的尺度參數 b。然後用三個欄位定義 x 數列：x 起始值、x 遞增量 與 重複次數。各點依照 \(x_k = x_{\text{起始值}} + k \cdot x_{\text{遞增量}}\)（k 從 0 到 次數−1）產生。工具會在每個點計算所選函數的值，繪製折線圖，並在表格中列出每組 (x, 數值)。頁面上方顯示的主數值為第一個 x 所對應的函數值。
公式說明
密度函數為 $$f(x,a,b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}.$$ 絕對值使曲線以 a 為中心左右對稱。積分後可得 CDF：當 x < a 時，\(P = 0.5 \cdot e^{(x-a)/b}\)；當 x ≥ a 時，\(P = 1 - 0.5 \cdot e^{-(x-a)/b}\)。上尾機率則為 \(Q = 1 - P\)。在峰值 x = a 處，會得到 \(f = \frac{1}{2b}\) 且 \(P = Q = 0.5\)。
範例演算
取 a = 0、b = 0.7，並在 x = 1 處計算：$$f = \frac{1}{1.4} \cdot e^{-1/0.7} = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118.$$ 由於 x ≥ a，故 \(P = 1 - 0.5 \cdot e^{-1.42857} = 0.88017\)，\(Q = 0.11983\)。可以注意到 \(P + Q\) 恰好等於 1，這是個方便的自我檢查。
常見問題
為什麼 b 必須為正？密度函數要除以 2b，且指數中也用到 b；若 \(b \le 0\)，函數便無定義，因此計算器會拒絕此類輸入。
Q 代表什麼？\(Q(x)\) 是隨機變數的值超過 x 的機率，也就是右尾機率（存活機率），等於 \(1 - P(x)\)。
最多可以繪製多少點？可使用任何不超過 1000 的正整數。預設值（起始 −5、遞增 0.1、共 101 點）所涵蓋的 x 範圍為 −5 到 +5。
