¿Qué es la distribución de Laplace?
La distribución de Laplace, también conocida como distribución doble exponencial, es una distribución de probabilidad continua que tiene el aspecto de dos curvas exponenciales unidas espalda contra espalda en un pico central. Queda definida por dos valores: un parámetro de posición a (donde coinciden la media, la mediana y la moda) y un parámetro de escala b (que debe ser mayor que cero y controla la rapidez con que decaen las colas). Aparece en el procesamiento de señales, la estadística robusta, las distribuciones a priori del LASSO bayesiano y en modelos donde los datos presentan colas más pesadas que la distribución normal.
Cómo usar esta calculadora
Elige la magnitud que quieres obtener mediante el selector Selección de función: la densidad de probabilidad \(f\), la probabilidad acumulada inferior \(P\) (la CDF) o la probabilidad acumulada superior \(Q\). Introduce el parámetro de posición \(a\) y un parámetro de escala \(b\) positivo. A continuación, define la secuencia de \(x\) con tres campos: valor inicial de x, incremento de x y número de repeticiones. Los puntos se generan según $$x_k = x_{\text{Inicial}} + k\cdot x_{\text{Paso}}$$ para \(k = 0\) hasta \(\text{recuento}-1\). La herramienta evalúa la función elegida en cada punto, traza un gráfico de líneas y muestra cada par \((x, \text{valor})\) en una tabla. El valor destacado corresponde a la función en el primer \(x\).
La fórmula explicada
La densidad es $$f(x,a,b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}$$ El valor absoluto hace que la curva sea simétrica respecto de \(a\). Al integrar se obtiene la CDF: para \(x < a\), \(P = 0.5\cdot e^{\frac{x-a}{b}}\); para \(x \ge a\), \(P = 1 - 0.5\cdot e^{-\frac{x-a}{b}}\). La cola superior es simplemente \(Q = 1 - P\). En el pico \(x = a\) se cumple \(f = \frac{1}{2b}\) y \(P = Q = 0.5\).
Ejemplo resuelto
Con \(a = 0\), \(b = 0.7\) evaluado en \(x = 1\): $$f = \frac{1}{1.4}\cdot e^{-\frac{1}{0.7}} = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118$$ Como \(x \ge a\), \(P = 1 - 0.5\cdot e^{-1.42857} = 0.88017\) y \(Q = 0.11983\). Observa que \(P + Q = 1\) exactamente, una comprobación muy útil.
Preguntas frecuentes
¿Por qué b debe ser positivo? La densidad divide entre \(2b\) y el exponente utiliza \(b\); si \(b \le 0\) la función no está definida, por lo que la calculadora rechaza ese valor.
¿Qué representa Q? \(Q(x)\) es la probabilidad de que un valor aleatorio supere \(x\), es decir, la probabilidad de la cola derecha o de supervivencia, igual a \(1 - P(x)\).
¿Cuántos puntos puedo representar? Cualquier número entero positivo hasta 1000. Los valores predeterminados (inicio \(-5\), paso \(0.1\), 101 puntos) abarcan \(x\) desde \(-5\) hasta \(+5\).
