¿Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial modela el número de éxitos x en un número fijo de ensayos independientes n, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p (un ensayo de Bernoulli). Responde preguntas como «¿qué probabilidad hay de obtener exactamente 5 caras en 20 lanzamientos de una moneda?». Es matemática pura y se aplica de forma idéntica en cualquier lugar, sin unidades ni jurisdicción que cambien el resultado.
Cómo usar esta calculadora
Elige qué función quieres calcular: la probabilidad puntual \(f(x)\) (la probabilidad de obtener exactamente x éxitos), la acumulada inferior \(P(X \le x)\) o la acumulada superior \(Q(X \ge x)\). Introduce el número de ensayos n, la probabilidad de éxito por ensayo p (entre 0 y 1) y, a continuación, selecciona el primer número de éxitos (valor inicial de x), el incremento entre filas y cuántas filas deseas generar. La herramienta tabula y representa la función seleccionada en un histograma discreto con las barras pegadas entre sí.
La fórmula explicada
La función de probabilidad puntual es
$$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{\,n-x}$$donde \(\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\) es el coeficiente binomial. La acumulada inferior \(P(x)\) suma \(f\) para \(t = 0..x\), y la acumulada superior \(Q(x)\) suma \(f\) para \(t = x..n\). Para evitar el desbordamiento de los factoriales con valores grandes de n, esta calculadora obtiene el coeficiente mediante la función logaritmo gamma:
$$\ln f = \ln\Gamma(n+1) - \ln\Gamma(x+1) - \ln\Gamma(n-x+1) + x\cdot\ln p + (n-x)\cdot\ln(1-p)$$La media de la distribución es \(np\) y la varianza es \(np(1-p)\).
Ejemplo resuelto
Para \(n = 20\) y \(p = 0{,}25\), al evaluar la PMF en \(x = 0..12\) obtenemos: \(f(0) \approx 0{,}003171\), \(f(1) \approx 0{,}021142\), \(f(2) \approx 0{,}066948\), \(f(3) \approx 0{,}133897\), \(f(4) \approx 0{,}189691\) y \(f(5) \approx 0{,}202337\). El máximo se alcanza en \(x = 5\), que coincide con la media
$$np = 20 \times 0{,}25 = 5$$justo como cabía esperar.
Definiciones y Glosario
- Ensayo: Una sola repetición de un experimento aleatorio con un conjunto fijo y definido de resultados.
- Ensayo de Bernoulli: Un ensayo con exactamente dos resultados mutuamente excluyentes, convencionalmente etiquetados como "éxito" y "fracaso".
- Probabilidad de éxito \(p\): La probabilidad de que un solo ensayo resulte en un éxito, con \(0 \le p \le 1\). Se asume constante en todos los ensayos.
- Número de ensayos \(n\): El conteo fijo de ensayos de Bernoulli independientes en el experimento, un entero no negativo.
- Éxitos \(x\): El número observado de éxitos entre los \(n\) ensayos; \(x\) es un entero con \(0 \le x \le n\).
- PMF \(f(x)\): La función de masa de probabilidad, que da la probabilidad de exactamente \(x\) éxitos: \(f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\).
- Acumulada inferior \(P(X\le x)\): La función de distribución acumulada, la probabilidad de a lo sumo \(x\) éxitos: \(P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)\).
- Acumulada superior \(Q(X\ge x)\): La probabilidad de al menos \(x\) éxitos: \(Q(X\ge x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X\le x-1)\).
- Coeficiente binomial \(\binom{n}{x}\): El número de formas distintas de elegir \(x\) éxitos de \(n\) ensayos, \(\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\).
- Media \(np\): El número esperado de éxitos, \(\mu = np\).
- Varianza \(np(1-p)\): La varianza del conteo de éxitos, \(\sigma^{2}=np(1-p)\); la desviación estándar es \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
Interpretando tu Resultado
Las tres cantidades responden tres preguntas diferentes sobre el mismo experimento:
- \(f(x)\) — exactamente \(x\): la probabilidad de obtener precisamente \(x\) éxitos y ningún otro número. Usa esto para preguntas de "exactamente k".
- \(P(X\le x)\) — a lo sumo \(x\): la probabilidad de que el número de éxitos no exceda \(x\). Usa esto para preguntas de "a lo sumo k", "no más que k", o "menos que k+1".
- \(Q(X\ge x)\) — al menos \(x\): la probabilidad de \(x\) o más éxitos. Usa esto para preguntas de "al menos k", "k o más", o "más que k−1".
Mapeando una pregunta real a una función. Traduce el enunciado cuidadosamente, observando el límite:
- "Al menos \(k\)" \(\Rightarrow Q(X\ge k)\).
- "Más que \(k\)" \(\Rightarrow Q(X\ge k+1) = 1 - P(X\le k)\).
- "A lo sumo \(k\)" \(\Rightarrow P(X\le k)\).
- "Menos que \(k\)" \(\Rightarrow P(X\le k-1)\).
- "Entre \(a\) y \(b\) inclusive" \(\Rightarrow P(X\le b) - P(X\le a-1)\).
La superposición de \(P\)/\(Q\). Porque tanto \(P(X\le x)\) como \(Q(X\ge x)\) incluyen el término \(f(x)\), no son complementarias en el mismo \(x\). De hecho, \(P(X\le x) + Q(X\ge x) = 1 + f(x)\), por lo que las dos colas acumuladas se superponen en exactamente un punto de masa. El verdadero complemento de \(Q(X\ge x)\) es \(P(X\le x-1)\), no \(P(X\le x)\).
Aproximación normal. Cuando tanto \(np\) como \(n(1-p)\) son razonablemente grandes (una regla común es que cada uno sea \(\ge 5\), e idealmente \(\ge 10\)), la binomial se aproxima bien mediante una distribución normal con media \(\mu = np\) y desviación estándar \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). Aplica una corrección de continuidad (por ejemplo, usa \(x+0.5\) o \(x-0.5\)) al convertir un conteo discreto a la escala normal continua. Para \(n\) grande con \(p\) pequeño (de modo que \(np\) permanezca moderado), la distribución de Poisson con \(\lambda = np\) es la aproximación más precisa.
Preguntas frecuentes
¿Por qué P(x) + Q(x) no suma 1? Ambas acumuladas incluyen el punto \(t = x\), de modo que \(P(x) + Q(x) = 1 + f(x)\). Este criterio de solapamiento (la inferior incluye x y la superior también incluye x) se aplica aquí de forma intencionada.
¿Qué ocurre si x queda fuera del rango 0..n? La PMF vale 0 en ese caso; la acumulada inferior se limita a 0 (\(x < 0\)) o a 1 (\(x \ge n\)), y la superior se limita a 1 (\(x \le 0\)) o a 0 (\(x > n\)).
¿Puedo usar valores grandes de n? Sí. El cálculo con logaritmo gamma mantiene el resultado estable para valores grandes de n, donde los factoriales directos se desbordarían.
