¿Qué es la distribución de Rayleigh?
La distribución de Rayleigh es una distribución de probabilidad continua para valores no negativos, definida por un único parámetro de escala σ (sigma). Surge de forma natural como la magnitud de un vector bidimensional cuyas componentes son variables aleatorias normales independientes, de media cero e igual varianza. Se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales (canales con desvanecimiento o fading), en el modelado de la velocidad del viento, en el ruido de imágenes por resonancia magnética y en ingeniería de fiabilidad.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el valor x en el que quieres conocer la densidad y la probabilidad acumulada, junto con el parámetro de escala σ. La calculadora devuelve la PDF \(f(x)\), la CDF \(F(x)\) y la media, la varianza, la mediana y la moda de la distribución. Tanto x como σ deben ser no negativos, y σ tiene que ser mayor que cero.
Las fórmulas explicadas
La densidad de probabilidad es $$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ para \(x \geq 0\). La distribución acumulada es $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right).$$ Los estadísticos resumen principales son: media \(\mu = \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\), varianza \(= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2}\), mediana \(= \sigma\sqrt{2\ln 2}\) y moda \(= \sigma\). Fíjate en que la moda coincide exactamente con σ: el pico de la densidad siempre se sitúa en \(x = \sigma\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\sigma = 1\) y \(x = 2\). Entonces \(\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{4}{2} = 2\), así que \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). La PDF es $$\frac{2}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}270671.$$ La CDF es \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\). La media es \(\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \approx 1{,}253314\), la varianza es \(\frac{4-\pi}{2} \approx 0{,}429204\), la mediana es \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}177410\) y la moda es 1.
Preguntas frecuentes
¿Está definida la distribución de Rayleigh para x negativos? No. Solo tiene soporte en \(x \geq 0\); la densidad vale cero para los valores negativos.
¿Cómo se relaciona σ con la media? La media crece de forma lineal con σ: \(\mu = \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \approx 1{,}2533\,\sigma\).
¿Qué relación tiene con la distribución normal? Si X e Y son independientes y siguen una \(N(0, \sigma^{2})\), entonces \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) sigue una distribución de Rayleigh con escala σ.
