Qu'est-ce que la loi de Rayleigh ?
La loi de Rayleigh est une loi de probabilité continue définie sur les valeurs positives ou nulles, caractérisée par un unique paramètre d'échelle σ (sigma). Elle apparaît naturellement comme la norme d'un vecteur en deux dimensions dont les composantes sont des variables aléatoires normales indépendantes, centrées et de même variance. On la retrouve fréquemment en traitement du signal (canaux à évanouissement), dans la modélisation de la vitesse du vent, l'analyse du bruit en IRM ou encore en ingénierie de la fiabilité.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la valeur x pour laquelle vous souhaitez obtenir la densité et la probabilité cumulée, ainsi que le paramètre d'échelle σ. Le calculateur renvoie la densité \(f(x)\), la fonction de répartition \(F(x)\), puis la moyenne, la variance, la médiane et le mode de la loi. Les valeurs \(x\) et \(\sigma\) doivent être positives ou nulles, et \(\sigma\) doit être strictement supérieur à zéro.
Les formules expliquées
La densité de probabilité vaut
$$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$pour \(x \ge 0\). La fonction de répartition s'écrit
$$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$Les principales statistiques résumées sont :
$$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$À noter : le mode est exactement égal à \(\sigma\) — le sommet de la densité se situe toujours en \(x = \sigma\).
Exemple concret
Prenons \(\sigma = 1\) et \(x = 2\). On a alors \(\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{4}{2} = 2\), donc \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). La densité vaut \(\frac{2}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}270671\). La fonction de répartition donne \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\). La moyenne est \(\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1{,}253314\), la variance \(\frac{4-\pi}{2} \approx 0{,}429204\), la médiane \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}177410\) et le mode est égal à \(1\).
FAQ
La loi de Rayleigh est-elle définie pour des x négatifs ? Non. Elle n'est définie que pour \(x \ge 0\) ; la densité est nulle pour les valeurs négatives.
Quel est le lien entre σ et la moyenne ? La moyenne est proportionnelle à \(\sigma\) : \(\mu = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1{,}2533\,\sigma\).
Quel rapport avec la loi normale ? Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes et suivent une loi \(N(0, \sigma^{2})\), alors \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) suit une loi de Rayleigh de paramètre d'échelle \(\sigma\).
