Calculateur de loi binomiale

Lower cumulative P(X ≤ x)	0,7553372
Upper cumulative P(X ≥ x)	0,40440127
Expectation (mean) = n·p	8

À quoi sert le calculateur de loi binomiale ?

Cet outil évalue la loi binomiale pour un nombre fixe d'essais indépendants. À partir du nombre de succès x, du nombre d'essais n et de la probabilité de succès d'un essai p, il renvoie la probabilité d'obtenir exactement x succès (la masse de probabilité), la probabilité cumulée inférieure, la probabilité cumulée supérieure et la moyenne. Le modèle binomial s'applique dès que l'on répète une même expérience de type oui/non un nombre fixe de fois avec une probabilité de succès constante : lancers d'une pièce, pièces défectueuses dans un lot, ou questions d'un QCM répondues correctement au hasard.

Diagramme en barres montrant la masse de probabilité binomiale pour chaque nombre de succès — La loi de probabilité binomiale donne la probabilité de chaque nombre possible de succès x en n essais.

Mode d'emploi

Saisissez trois nombres simples. Les succès x et les essais n doivent être des entiers vérifiant $0 \le x \le n$ et $n \ge 1$. La probabilité p doit être comprise entre 0 et 1. Cliquez sur calculer pour obtenir les quatre résultats d'un seul coup. Notez qu'il s'agit d'une loi discrète : le résultat principal est donc une masse de probabilité (une probabilité au sens propre), et non une densité de probabilité.

La formule expliquée

La masse de probabilité vaut $$f(x,n,p) = C(n,x) \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x},$$ où $C(n,x) = \frac{n!}{x!(n-x)!}$ est le coefficient binomial qui compte le nombre de façons d'obtenir x succès parmi n essais. La probabilité cumulée inférieure $P(X \le x)$ additionne $f(t)$ pour t allant de 0 à x, et le cumul supérieur $Q(X \ge x)$ additionne $f(t)$ pour t allant de x à n. Comme le point $t = x$ figure dans les deux sommes, on a $P + Q - f(x) = 1$. La moyenne est tout simplement $\mu = n \cdot p$. Les coefficients sont calculés à l'aide de logarithmes de factorielles afin de rester stables pour les grandes valeurs de n.

Schéma décomposant la formule binomiale en combinaisons, p puissance x et (1-p) puissance n moins x — La formule multiplie le nombre d'arrangements par les probabilités de succès et d'échecs.

Exemple résolu

Pour $x = 9$, $n = 20$, $p = 0{,}4$ : $C(20,9) = 167960$, $p^{9} = 0{,}000262144$ et $0{,}6^{11} \approx 0{,}0036279706$. On obtient donc $$f = 167960 \times 0{,}000262144 \times 0{,}0036279706 \approx 0{,}15974.$$ La moyenne vaut $20 \times 0{,}4 = 8$. En sommant, on trouve $P(X \le 9) \approx 0{,}75534$ et $Q(X \ge 9) \approx 0{,}40440$, qui vérifient bien $0{,}75534 + 0{,}40440 - 0{,}15974 \approx 1$.

Définitions & Glossaire

La distribution binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d'expériences indépendantes oui/non. Les termes ci-dessous apparaissent tout au long de cette calculatrice.

Essai : une seule répétition de l'expérience qui aboutit à l'un des deux résultats possibles (par exemple, un tirage à pile ou face).
Succès : le résultat que vous comptabilisez, quel que soit ce que vous le définissez (face, une pièce défectueuse, une réponse correcte). Son complément est un « échec ».
n (nombre d'essais) : le nombre total d'essais indépendants effectués. Il doit être un entier positif fixe.
x (nombre de succès) : le nombre spécifique de succès dont vous voulez la probabilité, où $0 \le x \le n$.
p (probabilité de succès) : la probabilité que tout essai unique soit un succès, un nombre décimal entre 0 et 1.
q = 1 − p (probabilité d'échec) : la probabilité qu'un essai unique soit un échec.
Coefficient binomial $\binom{n}{x}$ : le nombre de façons distinctes de choisir lesquels $x$ des $n$ essais sont des succès, calculé comme $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$.
Fonction de masse de probabilité (fmp), $f(x)$ : la probabilité d'exactement $x$ succès, $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.
Probabilité cumulative inférieure, $P(X \le x)$ : la probabilité d'au plus $x$ succès, la somme des valeurs de fmp de 0 à $x$.
Probabilité cumulative supérieure, $P(X \ge x)$ : la probabilité d'au moins $x$ succès, la somme des valeurs de fmp de $x$ à $n$.
Moyenne (valeur attendue), $\mu = np$ : le nombre moyen de succès attendus au cours de nombreuses répétitions.
Variance, $\sigma^{2}=np(1-p)$ : la dispersion de la distribution autour de sa moyenne.
Écart type, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ : l'écart type du nombre de succès par rapport à la moyenne, dans les mêmes unités que $x$.

Interpréter Votre Résultat

Cette calculatrice retourne trois probabilités et la moyenne. Choisissez celle qui correspond à la formulation de votre question :

fmp, $f(x)=P(X=x)$ — utilisez quand vous voulez la chance d'exactement $x$ succès, par exemple « exactement 5 faces en 10 lancers ».
Cumulative inférieure, $P(X \le x)$ — utilisez pour au plus $x$ (« $x$ ou moins »), par exemple « 5 réponses correctes ou moins ».
Cumulative supérieure, $P(X \ge x)$ — utilisez pour au moins $x$ (« $x$ ou plus »), par exemple « au moins 1 pièce défectueuse ».

Notez que les portions cumulatives se chevauchent à $x$ : $P(X \le x)+P(X \ge x)=1+f(x)$, car les deux plages incluent la valeur $x$ elle-même. Pour obtenir strictement moins de $x$, utilisez $P(X \le x-1)$ ; pour strictement plus de $x$, utilisez $P(X \ge x+1)$.

La moyenne $np$ est le nombre attendu de succès — la moyenne à long terme si vous répétiez l'ensemble de l'expérience à $n$ essais plusieurs fois. Elle n'a pas besoin d'être un nombre entier ; une valeur attendue de 4,5 décrit simplement une moyenne.

Toutes les probabilités sont rapportées sous forme de nombres décimaux entre 0 et 1 (multipliez par 100 pour obtenir un pourcentage). Une valeur proche de 0 signifie que l'événement est rare ; proche de 1, pratiquement certain.

Ces résultats sont valides uniquement quand les quatre hypothèses binomiales tiennent :

Nombre fixe d'essais $n$, décidé avant d'observer les résultats.
Deux résultats par essai — chaque essai est un succès ou un échec.
Probabilité constante $p$ de succès à chaque essai.
Indépendance — le résultat d'un essai ne affecte pas les autres.

Si les essais ne sont pas indépendants ou si $p$ change entre les essais (par exemple, un tirage sans remise dans une petite population), le modèle binomial n'est qu'une approximation.

FAQ

Le cumul supérieur inclut-il x ? Oui. Ici $Q(X \ge x)$ inclut le point $t = x$ : il s'agit donc de $P(X \ge x)$, et non de $P(X > x)$.

Que se passe-t-il pour p=0 ou p=1 ? Avec la convention $0^{0} = 1$, $p = 0$ donne $f(0) = 1$ et toutes les autres probabilités égales à 0 ; $p = 1$ donne $f(n) = 1$.

Pourquoi parler de « masse » de probabilité et non de « densité » ? La densité concerne les lois continues ; pour une variable discrète, chaque issue porte une probabilité réelle, et le terme exact est donc « masse ».