Qu'est-ce que le calculateur de loi de Fisher ?
Cet outil évalue la loi de Fisher (loi de Fisher-Snedecor) pour un point donné x et deux paramètres de degrés de liberté : v1 au numérateur et v2 au dénominateur. Il renvoie la densité de probabilité f(x), la probabilité cumulée inférieure P(X ≤ x) et la probabilité de la queue supérieure P(X > x). La loi de Fisher est l'un des outils fondamentaux de la statistique : elle s'applique de manière identique partout, sans hypothèse propre à un pays.
Comment l'utiliser
Saisissez le point x (qui doit être supérieur ou égal à 0), les degrés de liberté du numérateur v1 (strictement positifs) et les degrés de liberté du dénominateur v2 (strictement positifs). Les deux valeurs de ddl peuvent être non entières. Le calculateur renvoie la densité ainsi que les deux probabilités cumulées, qui vérifient toujours la relation inférieure + supérieure = 1.
La formule expliquée
La densité s'écrit
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(v_1\,x)^{v_1}\,v_2^{\,v_2}}{(v_1\,x + v_2)^{v_1+v_2}}}}{x \cdot B\!\left(\dfrac{v_1}{2},\dfrac{v_2}{2}\right)}$$où B désigne la fonction Bêta et \(d_1 = v_1\), \(d_2 = v_2\). La fonction de répartition repose sur la fonction bêta incomplète régularisée :
$$P(X \le x) = I_{z}\!\left(\dfrac{v_1}{2},\,\dfrac{v_2}{2}\right),\qquad z = \dfrac{v_1\,x}{v_1\,x + v_2}$$Nous calculons le logarithme de la fonction Gamma par l'approximation de Lanczos et la fonction bêta incomplète par une fraction continue (méthode de Lentz).
Exemple détaillé
Pour \(x = 1\), \(v_1 = 2\), \(v_2 = 1\) : \(B(1, 0{,}5) = 2\), donc
$$f(1) = \frac{2^1 \cdot 1^0 \cdot 3^{-1{,}5}}{2} = 3^{-1{,}5} \approx 0{,}19245$$Pour la fonction de répartition, \(z = 2/3\) et \(I_{2/3}(1, 0{,}5) = 1 - (1/3)^{0{,}5} \approx 0{,}42265\), d'où \(P(X > 1) \approx 0{,}57735\).
FAQ
Les degrés de liberté peuvent-ils être décimaux ? Oui. La loi de Fisher est bien définie pour tout réel positif de ddl.
Que se passe-t-il en x = 0 ? La probabilité inférieure vaut 0 et la supérieure vaut 1. La densité est égale à +infini si \(v_1 < 2\), vaut 1 si \(v_1 = 2\), et vaut 0 si \(v_1 > 2\).
À quoi sert la probabilité cumulée supérieure ? Elle correspond à la valeur p (p-value) d'un test F : la probabilité d'obtenir une statistique F au moins aussi grande que x sous l'hypothèse nulle.
