Qu'est-ce que la loi F non centrée ?
La loi F non centrée généralise la loi F ordinaire (dite centrée) en y ajoutant un paramètre de non-centralité lambda. Elle correspond à la distribution du rapport entre une variable du khi-deux non centrée (divisée par son nombre de degrés de liberté nu1) et une variable du khi-deux centrée indépendante (divisée par nu2). Elle joue un rôle essentiel dans l'analyse de la puissance statistique : lorsqu'une hypothèse nulle est fausse, la statistique de test d'une ANOVA ou d'un test F de régression suit une loi F non centrée, et lambda mesure à quel point l'effet réel s'écarte de l'hypothèse nulle. Quand \(\lambda = 0\), la distribution se réduit à la loi F centrée que l'on connaît bien.
Comment utiliser cette calculatrice
Choisissez la quantité à calculer : la densité de probabilité f, la probabilité cumulée inférieure P (la fonction de répartition, l'aire à gauche de x) ou la probabilité cumulée supérieure \(Q = 1 - P\) (l'aire à droite). Saisissez le nombre de degrés de liberté au numérateur nu1, le nombre de degrés de liberté au dénominateur nu2 et le paramètre de non-centralité lambda. Définissez ensuite une série de valeurs de x à l'aide d'une valeur initiale, d'un pas (incrément) et d'un nombre de répétitions ; l'outil évalue la fonction choisie pour \(x = x_{\text{initial}} + i \cdot \text{pas}\) avec \(i = 0..\text{nombre}-1\) et présente le résultat sous forme de tableau.
La formule expliquée
La densité est une moyenne de densités F centrées pondérées selon une loi de Poisson. Chaque poids vaut $$w_j = \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!},$$ soit la probabilité d'observer j événements pour une loi de Poisson de moyenne \(\lambda/2\). Le j-ième terme est la densité F centrée de degrés de liberté \((\nu_1 + 2j, \nu_2)\), exprimée à l'aide de la fonction Bêta \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). $$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\; \frac{\left(\tfrac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\frac{\nu_1}{2}+j} x^{\frac{\nu_1}{2}+j-1}}{B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\tfrac{\nu_2}{2}\right)\left(1+\tfrac{\nu_1}{\nu_2}x\right)^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}+j}}$$ Pour la probabilité cumulée, chaque densité est remplacée par la fonction de répartition F centrée correspondante, égale à la fonction Bêta incomplète régularisée \(I_z\!\left(\tfrac{\nu_j}{2}, \tfrac{\nu_2}{2}\right)\) évaluée en \(z = \frac{\nu_j\,x}{\nu_2 + \nu_j\,x}\). $$F(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\; I_{z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\; \tfrac{\nu_2}{2}\right)$$
Exemple résolu
Prenons \(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 2\), \(\lambda = 0\) (cas centré) et cherchons P en \(x = 1\). On a alors $$z = \frac{3 \cdot 1}{2 + 3 \cdot 1} = 0{,}6$$ et \(P = I_{0{,}6}(1{,}5,\ 1{,}0)\). Comme \(I_z(a,1) = z^a\), cela donne $$0{,}6^{1{,}5} = 0{,}464758,$$ soit \(P \approx 0{,}4648\) et \(Q \approx 0{,}5352\). En ajoutant une non-centralité \(\lambda = 1\), la masse de probabilité se déplace vers les valeurs plus grandes de x, ce qui abaisse la probabilité inférieure à environ \(P = 0{,}451\).
FAQ
Que se passe-t-il lorsque \(\lambda = 0\) ? Le résultat correspond exactement à la loi F centrée : seul le terme \(j = 0\) a un poids non nul.
Pourquoi la densité est-elle nulle en \(x = 0\) ? Pour \(\nu_1 \geq 2\), la densité vaut 0 en \(x = 0\) ; pour \(\nu_1 < 2\), elle diverge vers l'infini lorsque x tend vers 0, si bien qu'une valeur en \(x = 0\) n'y a pas de sens.
Quelle est la précision de la série ? Les poids de Poisson sont sommés jusqu'à ce que la masse cumulée atteigne pratiquement 1, et la fonction Bêta incomplète est évaluée par une fraction continue utilisant le logarithme de la fonction gamma pour plus de stabilité, ce qui garantit une grande précision pour les entrées usuelles.
