非心F分布とは
非心F分布は、通常の（中心）F分布に非心度パラメータ \(\lambda\) を加えて一般化した確率分布です。自由度 \(\nu_1\) で割った非心カイ二乗分布に従う変数と、独立に自由度 \(\nu_2\) で割った中心カイ二乗分布に従う変数の比として現れます。統計的検定力（パワー）の分析において欠かせない分布であり、帰無仮説が偽であるとき、分散分析（ANOVA）や回帰分析のF検定統計量は非心F分布に従います。\(\lambda\) は真の効果が帰無仮説からどれだけ離れているかを表す指標です。\(\lambda = 0\) のときは、おなじみの中心F分布に一致します。
この計算機の使い方
まず計算する量を選びます。確率密度 \(f\)、下側累積確率 \(P\)（CDF：\(x\) より左側の面積）、または上側累積確率 \(Q = 1 - P\)（\(x\) より右側の面積）のいずれかです。次に、分子の自由度 \(\nu_1\)、分母の自由度 \(\nu_2\)、非心度 \(\lambda\) を入力します。続いて、\(x\) の初期値・増分（ステップ）・繰り返し回数を指定して \(x\) の系列を定義します。この計算機は \(x = \text{初期値} + i \times \text{ステップ}\)（\(i = 0\)〜回数\(-1\)）の各点で選択した関数を評価し、結果を表にまとめます。
計算式の解説
確率密度は、中心F分布の密度をポアソン分布の重みで平均したものとして表されます。各重みは $$w_j = \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}$$ で、平均 \(\lambda/2\) のポアソン分布で事象が \(j\) 回起こる確率に相当します。第 \(j\) 項は自由度 \((\nu_1 + 2j,\ \nu_2)\) の中心F分布の密度で、ベータ関数 \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) を用いて表されます。累積確率では、各密度を対応する中心F分布のCDFに置き換えます。これは \(z = \frac{\nu_j x}{\nu_2 + \nu_j x}\) における正則化不完全ベータ関数 \(I_z(\nu_j/2,\ \nu_2/2)\) に等しくなります。
計算例
\(\nu_1 = 3\)、\(\nu_2 = 2\)、\(\lambda = 0\)（中心の場合）として、\(x = 1\) における \(P\) を求めてみましょう。このとき $$z = \frac{3 \times 1}{2 + 3 \times 1} = 0.6$$ となり、\(P = I_{0.6}(1.5,\ 1.0)\) です。\(I_z(a,1) = z^a\) が成り立つため、これは $$0.6^{1.5} = 0.464758$$ すなわち \(P \approx 0.4648\)、\(Q \approx 0.5352\) となります。ここで非心度 \(\lambda = 1\) を加えると確率の重みが大きい \(x\) の側へ移動し、下側確率は \(P \approx 0.451\) まで下がります。
よくある質問
\(\lambda = 0\) のときはどうなりますか？ 結果は中心F分布そのものになります。重みを持つのは \(j = 0\) の項だけだからです。
なぜ \(x = 0\) で密度が 0 になるのですか？ \(\nu_1 \geq 2\) の場合、\(x = 0\) で密度は 0 です。一方 \(\nu_1 < 2\) の場合は \(x\) が 0 に近づくと無限大に発散するため、\(x = 0\) での値は意味を持ちません。
この級数の精度はどの程度ですか？ ポアソンの重みは累積質量が実質的に 1 になるまで足し合わせ、不完全ベータ関数は数値的安定性のために対数ガンマ関数を用いた連分数で評価します。これにより、一般的な入力範囲にわたって高い精度が得られます。
