Phân phối F phi tâm là gì?
Phân phối F phi tâm (noncentral F-distribution) là dạng tổng quát hóa của phân phối F thông thường (F trung tâm) bằng cách bổ sung thêm tham số phi tâm lambda. Nó xuất hiện dưới dạng phân phối của tỉ số giữa một biến chi-bình phương phi tâm (chia cho bậc tự do nu1) và một biến chi-bình phương trung tâm độc lập (chia cho nu2). Đây là nền tảng của phân tích sức mạnh thống kê (power analysis): khi giả thuyết không (H0) là sai, thống kê kiểm định F trong phân tích phương sai (ANOVA) hoặc hồi quy sẽ tuân theo phân phối F phi tâm, và lambda đo mức độ chệch của hiệu ứng thực sự so với giả thuyết không. Khi lambda = 0, phân phối này trở về đúng phân phối F trung tâm quen thuộc.
Cách sử dụng máy tính
Trước hết hãy chọn đại lượng cần tính: mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P (hàm phân phối CDF, tức diện tích bên trái x), hoặc xác suất tích lũy trên Q = 1 - P (diện tích bên phải). Tiếp theo, nhập bậc tự do của tử số nu1, bậc tự do của mẫu số nu2 và tham số phi tâm lambda. Sau đó, xác định dãy giá trị x bằng giá trị ban đầu, bước nhảy (gia số) và số lần lặp; công cụ sẽ tính hàm đã chọn tại \(x = \text{initialX} + i \cdot \text{step}\) với \(i = 0..\text{count}-1\) và lập thành bảng kết quả.
Giải thích công thức
Mật độ là trung bình có trọng số theo phân phối Poisson của các mật độ F trung tâm. Mỗi trọng số là \(w_j = e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j / j!\), chính là xác suất xảy ra j sự kiện trong phân phối Poisson có kỳ vọng \(\lambda/2\). Số hạng thứ j là mật độ F trung tâm với bậc tự do (nu1 + 2j, nu2), được viết qua hàm Beta \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\). Đối với xác suất tích lũy, mỗi mật độ được thay bằng CDF F trung tâm tương ứng, vốn bằng hàm Beta không đầy đủ chính quy hóa \(I_z(\nu_j/2, \nu_2/2)\) tính tại \(z = \nu_j x / (\nu_2 + \nu_j x)\).
$$F(x;\nu_1,\nu_2,\lambda) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\; I_{z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\; \tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1\,x}{\nu_1\,x + \nu_2}$$
Ví dụ minh họa
Lấy nu1 = 3, nu2 = 2, lambda = 0 (trường hợp trung tâm) và tính P tại x = 1. Khi đó \(z = 3 \cdot 1/(2 + 3 \cdot 1) = 0{,}6\) và \(P = I_{0,6}(1{,}5;\ 1{,}0)\). Vì \(I_z(a,1) = z^a\), ta có \(0{,}6^{1,5} = 0{,}464758\), nên P xấp xỉ 0,4648 và Q xấp xỉ 0,5352. Nếu thêm tham số phi tâm lambda = 1, khối lượng xác suất dịch chuyển về phía x lớn hơn, làm giảm xác suất tích lũy dưới còn khoảng P = 0,451.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi lambda = 0? Kết quả chính là phân phối F trung tâm: chỉ duy nhất số hạng j = 0 mang trọng số.
Vì sao mật độ bằng 0 tại x = 0? Khi nu1 >= 2, mật độ bằng 0 tại x = 0; còn khi nu1 < 2, nó tiến tới vô cực khi x dần về 0, nên giá trị tại x = 0 không có ý nghĩa trong trường hợp này.
Chuỗi tính toán chính xác đến mức nào? Các trọng số Poisson được cộng dồn cho đến khi tổng khối lượng xác suất gần như bằng 1, và hàm Beta không đầy đủ được tính bằng phân số liên tục kết hợp log-gamma để đảm bảo ổn định, mang lại độ chính xác cao với các giá trị đầu vào thông dụng.
