Máy tính phân phối Poisson là gì?
Phân phối Poisson mô tả số lần một sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định, khi đã biết trước tốc độ trung bình không đổi (giá trị kỳ vọng) và với giả định các sự kiện xảy ra độc lập với nhau. Công cụ này lập bảng ba đại lượng theo một dãy giá trị x: hàm khối xác suất \(f(x;\lambda)\), xác suất tích lũy dưới \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\), và xác suất tích lũy trên \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\).
Cách sử dụng
Chọn dãy số bạn muốn làm nổi bật (hàm khối xác suất f, tích lũy dưới P, hoặc tích lũy trên Q). Nhập giá trị trung bình \(\lambda\) (phải \(\ge 0\)), giá trị khởi đầu của x, bước nhảy (step), và số lần lặp (số hàng). Máy tính sẽ tạo dãy $$x = \text{Initial }x + i\cdot\text{Step}$$ và hiển thị f, P, Q cho từng giá trị, đồng thời tô sáng cột bạn đã chọn.
Giải thích công thức
Hàm khối xác suất là $$P(X = x) = \frac{\lambda^{\,x}\,e^{-\lambda}}{x!}$$ Hàm phân phối tích lũy dưới cộng dồn toàn bộ xác suất từ 0 đến x: $$P(X \le x) = \sum_{t=0}^{x} \frac{\lambda^{\,t}\,e^{-\lambda}}{t!}$$ Xác suất tích lũy trên bao gồm cả số hạng tại chính x: $$P(X \ge x) = 1 - \sum_{t=0}^{x} \frac{\lambda^{\,t}\,e^{-\lambda}}{t!} + \frac{\lambda^{\,x}\,e^{-\lambda}}{x!}$$ nên P và Q chồng lấn nhau ở \(f(x)\). Để đảm bảo độ ổn định tính toán, ta tính f bằng logarit của giai thừa: \(f = \exp(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!))\).
Ví dụ minh họa
Với \(\lambda = 5\) và \(x = 0\): \(e^{-5} = 0{,}006737947\), vậy \(f(0) = 0{,}006737947\), \(P(0) = 0{,}006737947\), và $$Q(0) = 1 - 0{,}006737947 + 0{,}006737947 = 1$$ Tại \(x = 5\), \(f(5) = 0{,}175467\), \(P(5) = 0{,}615961\), và \(Q(5) = 0{,}559507\) — nghĩa là khoảng 61,6% khối xác suất nằm ở \(X \le 5\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao P + Q lớn hơn 1? Bởi vì cả tích lũy dưới P (\(X \le x\)) lẫn tích lũy trên Q (\(X \ge x\)) đều bao gồm khối xác suất tại điểm x là \(f(x)\); do đó tổng của chúng bằng \(1 + f(x)\).
Điều gì xảy ra khi \(\lambda = 0\)? Toàn bộ xác suất dồn vào \(x = 0\): \(f(0) = 1\), \(f(x) = 0\) với mọi \(x > 0\), và \(P(x) = 1\) với mọi \(x \ge 0\).
\(\lambda\) có thể là số không nguyên không? Có — \(\lambda\) là một tốc độ và có thể nhận bất kỳ giá trị nào \(\ge 0\); còn các giá trị x là số nguyên không âm.
