पॉइसन वितरण कैलकुलेटर क्या है?
पॉइसन वितरण यह बताता है कि किसी निश्चित समय अंतराल या स्थान में कितनी घटनाएँ घटित होंगी, जब उनकी औसत दर (माध्य) स्थिर और ज्ञात हो और यह माना जाए कि घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से होती हैं। यह कैलकुलेटर \(x\) मानों की एक श्रृंखला पर तीन राशियाँ टेबल रूप में दिखाता है: प्रायिकता द्रव्यमान \(f(x;\lambda)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\)।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि किस श्रृंखला को हाइलाइट करना है (प्रायिकता द्रव्यमान \(f\), निचली संचयी \(P\), या ऊपरी संचयी \(Q\))। फिर माध्य मान \(\lambda\) भरें (यह \(\ge 0\) होना चाहिए), \(x\) का प्रारंभिक मान, वृद्धि (स्टेप), और दोहरावों की संख्या (पंक्तियाँ) दर्ज करें। कैलकुलेटर $$x = \text{initialX},\ \text{initialX}+\text{step},\ \text{initialX}+2\cdot\text{step},\ \ldots$$ उत्पन्न करता है और हर मान के लिए \(f\), \(P\) और \(Q\) दिखाते हुए चयनित कॉलम को हाइलाइट कर देता है।
सूत्र की व्याख्या
प्रायिकता द्रव्यमान फलन है $$f(x;\lambda) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{\,x}}{x!}.$$ निचला संचयी वितरण \(x\) तक के सभी द्रव्यमानों को जोड़ता है: $$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} f(t;\lambda).$$ ऊपरी संचयी प्रायिकता में स्वयं \(x\) वाला पद भी शामिल होता है: $$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda),$$ इसलिए \(P\) और \(Q\) दोनों \(f(x)\) पर ओवरलैप करते हैं। संख्यात्मक स्थिरता के लिए हम लॉग फैक्टोरियल का उपयोग करके \(f\) निकालते हैं: $$f = \exp(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!)).$$
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(\lambda = 5\) और \(x = 0\): \(e^{-5} = 0.006737947\), तो \(f(0) = 0.006737947\), \(P(0) = 0.006737947\), और $$Q(0) = 1 - 0.006737947 + 0.006737947 = 1.$$ \(x = 5\) पर, \(f(5) = 0.175467\), \(P(5) = 0.615961\), और \(Q(5) = 0.559507\) — अर्थात लगभग 61.6% प्रायिकता द्रव्यमान \(X \le 5\) पर स्थित है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
P + Q का योग 1 से अधिक क्यों होता है? क्योंकि निचली संचयी \(P\) (\(X \le x\)) और ऊपरी संचयी \(Q\) (\(X \ge x\)) दोनों में बिंदु द्रव्यमान \(f(x)\) शामिल होता है; इसलिए उनका योग \(1 + f(x)\) हो जाता है।
\(\lambda = 0\) होने पर क्या होता है? तब पूरा द्रव्यमान \(x = 0\) पर होता है: \(f(0) = 1\), \(x > 0\) के लिए \(f(x) = 0\), और हर \(x \ge 0\) के लिए \(P(x) = 1\)।
क्या \(\lambda\) पूर्णांक के अलावा भी हो सकता है? हाँ — \(\lambda\) एक दर है और \(\ge 0\) कोई भी मान हो सकता है; जबकि \(x\) मान हमेशा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं।
