यह कैलकुलेटर क्या करता है
काई-स्क्वायर (Chi-squared) डिस्ट्रिब्यूशन सांख्यिकी में सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाले वितरणों में से एक है। यह गुडनेस-ऑफ़-फ़िट परीक्षण, कंटिंजेंसी टेबल में स्वतंत्रता (independence) के परीक्षण और प्रसरण (variance) के लिए विश्वास अंतराल (confidence intervals) की नींव बनाता है। यह टूल एक पर्सेंटाइल बिंदु x और स्वतंत्रता की कोटि ν लेकर तीन उच्च-परिशुद्धता वाले मान देता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), और ऊपरी (पुच्छ या tail) प्रायिकता \(Q(X > x)\)।
इसका उपयोग कैसे करें
x के लिए कोई भी ऋण-रहित (non-negative) मान और स्वतंत्रता की कोटि ν के लिए कोई धनात्मक मान दर्ज करें (आमतौर पर यह धनात्मक पूर्णांक होता है, हालाँकि गणितीय रूप से यह अपूर्णांक ν के लिए भी काम करता है)। फिर "कैलकुलेट" दबाएँ। PDF आपको ठीक x पर सापेक्ष संभावना बताता है, निचली प्रायिकता बायीं ओर का क्षेत्रफल देती है (एकपक्षीय निचले परीक्षण के लिए p-वैल्यू का पूरक), और ऊपरी प्रायिकता दायें-पुच्छ का क्षेत्रफल देती है — यही वह p-वैल्यू है जो अधिकांश काई-स्क्वायर सार्थकता परीक्षणों में रिपोर्ट की जाती है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व का सूत्र है
$$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$जहाँ \(x > 0\) और \(\Gamma\) गामा फलन (gamma function) है। संचयी प्रायिकता नियमित निचले अपूर्ण गामा फलन \(P(k/2,\, x/2)\) के बराबर होती है। हम इसका संख्यात्मक मूल्यांकन इस तरह करते हैं: जब \(x/2 < k/2 + 1\) हो तो श्रेणी विस्तार (series expansion) से, अन्यथा सतत-भिन्न विस्तार (continued-fraction expansion, यानी लेंट्ज़ की विधि) से; और स्थिरता के लिए गामा फलन का मूल्यांकन लैंक्ज़ोस लॉग-गामा सन्निकटन (Lanczos log-gamma approximation) के ज़रिए किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x = 2\) और \(\nu = 3\) है। तब \(a = k/2 = 1.5\) और \(z = x/2 = 1\) रखें। घनत्व होगा
$$f = \exp\!\left[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)\right] \approx 0.20755$$निचली प्रायिकता \(P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759\) है, इसलिए ऊपरी पुच्छ प्रायिकता \(Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241\) होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) क्या होती है? परीक्षणों में यह आमतौर पर श्रेणियों की संख्या में से बाधाओं (constraints) को घटाने पर मिलने वाला मान होता है, जैसे कंटिंजेंसी टेबल के लिए \((\text{पंक्तियाँ}-1)(\text{स्तंभ}-1)\)।
कौन-सा मान p-वैल्यू है? किसी मानक काई-स्क्वायर परीक्षण में p-वैल्यू ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q(X > x)\) होती है।
क्या x शून्य या ऋणात्मक हो सकता है? \(x = 0\) पर घनत्व ν पर निर्भर करता है और संचयी प्रायिकता 0 होती है। ऋणात्मक x वितरण के समर्थन (support) से बाहर है, इसलिए वहाँ \(f = 0\), \(P = 0\) और \(Q = 1\) होगा।
