這個計算器能做什麼
卡方分配（Chi-Squared Distribution）是統計學中應用最廣泛的分配之一，無論是適合度檢定、列聯表的獨立性檢定，還是變異數的信賴區間，背後都少不了它。本工具只要輸入一個分位點 x 與自由度 ν，就能回傳三個高精度數值：機率密度 \(f(x)\)、下側累積機率 \(P(X \le x)\)，以及上側（尾端）機率 \(Q(X > x)\)。
使用方式
請在 x 欄位輸入一個非負數值，並在自由度 ν 欄位輸入一個正數（通常是正整數，但即使是非整數的 ν，公式同樣適用）。按下計算後，PDF 會告訴你恰好在 x 這一點的相對可能性；下側機率代表左側面積，也就是單側下尾檢定 p 值的補數；上側機率則是右尾面積，正是大多數卡方顯著性檢定所報告的 p 值。
公式解析
當 \(x > 0\) 時，密度函數為
$$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$其中 \(\Gamma\) 為 Gamma 函數。累積機率則等於正規化下不完全 Gamma 函數 \(P\!\left(\frac{k}{2}, \frac{x}{2}\right)\)。我們以數值方法計算：當 \(\frac{x}{2} < \frac{k}{2} + 1\) 時採用級數展開，其餘情況則使用連分數展開（Lentz 法）；而 Gamma 函數則透過 Lanczos log-gamma 近似計算，以確保數值穩定。
實際範例
以 \(x = 2\)、\(\nu = 3\) 為例，令 \(a = \frac{k}{2} = 1.5\)、\(z = \frac{x}{2} = 1\)。密度為
$$f = \exp\left[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)\right] \approx 0.20755$$下側機率
$$P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759$$因此上尾機率
$$Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241$$
常見問題
什麼是自由度？在檢定中，自由度通常等於類別數減去限制條件數，例如列聯表的自由度為 \((\text{列數}-1)(\text{欄數}-1)\)。
哪一個值才是 p 值？對於標準的卡方檢定，p 值就是上側累積機率 \(Q(X > x)\)。
x 可以是 0 或負數嗎？當 \(x = 0\) 時，密度值取決於 ν，而累積機率為 0。負的 x 落在定義域之外，因此 \(f = 0\)、\(P = 0\)、\(Q = 1\)。
