この計算機でできること
カイ２乗分布は、統計学で最も広く使われる分布のひとつです。適合度検定、分割表の独立性検定、分散の信頼区間など、さまざまな場面の土台となっています。この計算機は、パーセント点 x と自由度 ν を入力すると、3つの値を高精度で返します。すなわち、確率密度 \(f(x)\)、下側累積確率 \(P(X \le x)\)、上側（裾）確率 \(Q(X > x)\) です。
使い方
x には 0 以上の値を、自由度 ν には正の値を入力します（通常は正の整数ですが、計算式上は整数でない ν でも問題ありません）。計算ボタンを押してください。確率密度はちょうど x における相対的な起こりやすさを表し、下側確率は左側の面積（片側下側検定の p 値の補数）を、上側確率は右裾の面積を示します。この上側確率こそが、多くのカイ２乗検定で報告される p 値です。
計算式の解説
確率密度は \(x > 0\) のとき $$f(x;k) = \frac{x^{k/2-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$ で与えられます。ここで \(\Gamma\) はガンマ関数です。累積確率は、正規化された下側不完全ガンマ関数 \(P\!\left(\frac{k}{2}, \frac{x}{2}\right)\) に等しくなります。本計算機では、\(x/2 < k/2 + 1\) のときは級数展開を、それ以外のときは連分数展開（レンツ法）を用いて数値的に評価します。ガンマ関数は数値的安定性のためランチョス近似による log ガンマで計算しています。
計算例
\(x = 2\)、\(\nu = 3\) の場合、\(a = k/2 = 1.5\)、\(z = x/2 = 1\) とおきます。確率密度は $$f = \exp\left[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)\right] \approx 0.20755$$ となります。下側確率は \(P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759\) で、上側裾確率は \(Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241\) です。
よくある質問
自由度とは何ですか？ 検定では通常、カテゴリ数から制約の数を引いた値になります。たとえば分割表では \((\text{行数}-1)(\text{列数}-1)\) です。
どの値が p 値ですか？ 標準的なカイ２乗検定では、p 値は上側累積確率 \(Q(X > x)\) です。
x はゼロや負の値でもよいですか？ \(x = 0\) のとき、確率密度は \(\nu\) によって変わり、累積確率は 0 です。負の x は定義域外となり、\(f = 0\)、\(P = 0\)、\(Q = 1\) となります。
