ベータ分布計算とは
ベータ分布は、区間 [0, 1] で定義される連続型の確率分布で、2 つの正の形状パラメータ \(a\)・\(b\) によって形が決まります。ベイズ統計では確率に対する共役事前分布として用いられるほか、信頼性解析、プロジェクトの工程管理（PERT）、割合（比率）のモデル化など、幅広い場面で活躍します。この計算ツールでは、確率密度関数 \(f(x)\)、下側累積確率 \(P(x)\)（累積分布関数）、上側累積確率 \(Q(x)\)（生存関数）を、複数の \(x\) の値にわたって一括で求め、選択した関数の折れ線グラフを描画します。
使い方
まず計算する関数を選び、形状パラメータ \(a\)・\(b\) を入力します（どちらも 0 より大きい値）。続いて \(x\) の初期値、刻み幅（増分）、行数（繰り返し回数）を設定してください。ツールは選択した関数を \(x =\) 初期値、初期値 + 刻み幅、初期値 + 2×刻み幅 … の順に評価します。初期設定（初期値 0、刻み幅 0.01、行数 101）のままなら、\(x = 0.00\) から \(x = 1.00\) までを一通り計算できます。結果には最初の \(x\) における値、すべての値を並べた表、そしてグラフが表示されます。
計算式の解説
確率密度は次式で表されます。
$$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)}$$ここで、ベータ関数
$$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$は全体の面積が 1 になるように正規化する役割を持ちます。数値計算を安定させるため、本ツールでは対数ガンマ関数（ランチョス近似）を利用し、\(B(a,b)\) を \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\) として計算しています。下側累積確率は正則化不完全ベータ関数 \(I_x(a,b)\) に等しく、Numerical Recipes の連分数法（betacf／betai）で求めています。上側累積確率は単純に \(Q = 1 - P\) です。
計算例
\(a = 2\)、\(b = 3\)、\(x = 0.3\) の場合を考えます。\(B(2,3) = (1\cdot 2)/24 = 0.0833333\) なので、\(f(0.3) = 12 \cdot 0.3 \cdot 0.7^2 = 12 \cdot 0.147 = 1.764\) となります。下側累積確率は \(P(0.3) = I_{0.3}(2,3) = 0.3483\)、上側累積確率は \(Q(0.3) = 1 - 0.3483 = 0.6517\) です。
主要公式とモーメント
ベータ分布は区間 \([0,1]\) で定義される連続確率分布で、2つの正の形状パラメータ \(a>0\) および \(b>0\) によって支配されます。その確率密度関数は
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$正規化定数 \(B(a,b)\) は ベータ関数 であり、ガンマ関数を用いて次のように表現されます
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$主要なモーメントと形状の特性を以下に示します。
| 量 | 公式 | 条件 |
|---|---|---|
| 平均 | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | すべての \(a,b>0\) |
| 分散 | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | すべての \(a,b>0\) |
| 最頻値 | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| 歪度 | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | すべての \(a,b>0\) |
例として、\(a=2\) および \(b=5\) の場合、平均は \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\) であり、分散は \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\) です。両方のパラメータが1を超えているため、最頻値は \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\) です。\(a=b\) の場合、分布は \(x=0.5\) を中心に対称であり歪度はゼロです。\(b>a\) の場合は右に歪んでおり、\(a>b\) の場合は左に歪んでいます。特殊ケース \(a=b=1\) は区間 \([0,1]\) での標準一様分布に縮約されます。
定義と用語集
- 形状パラメータ a
- 第1の正の形状パラメータ（\(a>0\)）。\(x=0\) 近くの密度の振る舞いを制御します：\(a<1\) の値は質量を0に押し動かし（密度が発散）、\(a=1\) は有限の端点を与え、\(a>1\) は密度を0で消滅させます。\(a\) が \(b\) に対して大きいほど、平均が1に向かってシフトします。
- 形状パラメータ b
- 第2の正の形状パラメータ（\(b>0\)）。\(x=1\) 近くの密度を、\(a\) が0近くの振る舞いを支配する方法の鏡像的な方法で支配します。\(b\) が \(a\) に対して大きいほど、平均が0に向かってシフトします。
- 確率密度関数 f(x)
- ランダム変数が値 \(x\) をとる相対的な尤度で、\(0\le x\le 1\) に対して \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) で与えられ、その他の場所では0です。\(f(x)\) の \([0,1]\) 上の面積は1に等しくなります。
- 下側累積確率 P(x) / CDF
- 累積分布関数、\(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\)。これは正則化不完全ベータ関数 \(I_x(a,b)\) に等しく、\(x=0\) で0から \(x=1\) で1へ単調に増加します。
- 上側累積確率 Q(x) / 生存関数
- 補完的（裾）確率、\(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\)。これは \(x=0\) で1から \(x=1\) で0へ減少します。
- ベータ関数 B(a,b)
- 分布の正規化定数、\(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)。これは対称です：\(B(a,b)=B(b,a)\)。
- ガンマ関数 \(\Gamma(z)\)
- 階乗の連続拡張で、\(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\) で定義され、正の整数 \(n\) に対して \(\Gamma(n)=(n-1)!\) であり、再帰関係 \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\) があります。
- 正則化不完全ベータ関数 \(I_x(a,b)\)
- 比率 \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\) で、0から1の範囲にあり、ベータ分布の累積分布関数そのもので、したがって \(P(x)=I_x(a,b)\) です。
よくある質問（FAQ）
x が取れる範囲は？ ベータ分布は区間 [0, 1] 上で定義されます。この区間の外では確率密度は 0 になります。
a と b は何を決めるのですか？ \(a\) と \(b\) は曲線の形を決めます。\(a = b = 1\) のときは一様分布になり、値が大きいほど平均 \(a/(a+b)\) の付近に確率が集中します。逆に 1 より小さい値では確率が両端へ寄っていきます。
端の付近で密度がとても大きくなるのはなぜ？ \(a < 1\) のときは \(x\) が 0 に近づくにつれて密度が発散し、\(b < 1\) のときは \(x\) が 1 に近づくにつれて発散します。これらの端点は極限の規則に従って処理しています。
