¿Qué es la calculadora de la distribución Beta?
La distribución Beta es una distribución de probabilidad continua definida en el intervalo [0, 1] y regida por dos parámetros de forma positivos, \(a\) y \(b\). Se utiliza ampliamente en la estadística bayesiana (como distribución a priori conjugada de probabilidades), en el análisis de fiabilidad, en la planificación de proyectos (método PERT) y para modelar proporciones. Esta calculadora evalúa la función de densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(x)\) (la función de distribución acumulada) y la probabilidad acumulada superior \(Q(x)\) (la función de supervivencia) sobre una serie de valores de \(x\), y representa en una gráfica de líneas la función que elijas.
Cómo utilizarla
Elige qué función quieres calcular, introduce los parámetros de forma \(a\) y \(b\) (ambos deben ser mayores que 0) y, a continuación, fija el valor inicial de \(x\), el tamaño del paso y el número de filas. La herramienta evalúa la función seleccionada en \(x = x_{inicial},\ x_{inicial} + paso,\ x_{inicial} + 2\cdot paso\), y así sucesivamente. Con los valores por defecto (inicio 0, paso 0,01 y 101 filas) obtienes un recorrido completo desde \(x = 0{,}00\) hasta \(x = 1{,}00\). El resultado muestra el valor en el primer \(x\), una tabla completa y una gráfica.
La fórmula explicada
La densidad es $$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)},$$ donde la función beta $$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ normaliza el área a 1. Para lograr estabilidad numérica trabajamos con la función log-gamma (aproximación de Lanczos), de modo que \(B(a,b)\) se calcula como \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\). La probabilidad acumulada inferior equivale a la función beta incompleta regularizada \(I_x(a,b)\), calculada con el método de fracción continua de Numerical Recipes (betacf/betai). La probabilidad acumulada superior es simplemente \(Q = 1 - P\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 2\), \(b = 3\), \(x = 0{,}3\). Aquí $$B(2,3) = \frac{1\cdot 2}{24} = 0{,}0833333,$$ así que $$f(0{,}3) = 12 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^2 = 12 \cdot 0{,}147 = 1{,}764.$$ La probabilidad acumulada inferior \(P(0{,}3) = I_{0{,}3}(2,3) = 0{,}3483\) y la probabilidad acumulada superior \(Q(0{,}3) = 1 - 0{,}3483 = 0{,}6517\).
Fórmulas clave y momentos
La distribución Beta es una distribución de probabilidad continua definida en el intervalo de soporte \([0,1]\), gobernada por dos parámetros de forma positivos \(a>0\) y \(b>0\). Su función de densidad de probabilidad es
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$La constante normalizadora \(B(a,b)\) es la función beta, que se expresa a través de funciones gamma como
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$Los momentos principales y descriptores de forma se resumen a continuación.
| Cantidad | Fórmula | Condiciones |
|---|---|---|
| Media | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | todos \(a,b>0\) |
| Varianza | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | todos \(a,b>0\) |
| Moda | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| Asimetría | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | todos \(a,b>0\) |
Por ejemplo, con \(a=2\) y \(b=5\) la media es \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\) y la varianza es \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\). Dado que ambos parámetros superan 1, la moda es \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\). Cuando \(a=b\) la distribución es simétrica alrededor de \(x=0.5\) y la asimetría es cero; cuando \(b>a\) está sesgada hacia la derecha y cuando \(a>b\) está sesgada hacia la izquierda. El caso especial \(a=b=1\) se reduce a la distribución uniforme estándar en \([0,1]\).
Definiciones y glosario
- Parámetro de forma a
- El primer parámetro de forma positivo (\(a>0\)). Controla el comportamiento de la densidad cerca de \(x=0\): valores \(a<1\) concentran la masa hacia 0 (la densidad diverge), \(a=1\) da un extremo finito, y \(a>1\) hace que la densidad se anule en 0. Un valor más grande de \(a\) relativo a \(b\) desplaza la media hacia 1.
- Parámetro de forma b
- El segundo parámetro de forma positivo (\(b>0\)). Gobierna la densidad cerca de \(x=1\) de una manera refleja a cómo \(a\) gobierna el comportamiento cerca de 0. Un valor más grande de \(b\) relativo a \(a\) desplaza la media hacia 0.
- Función de densidad de probabilidad f(x)
- La probabilidad relativa de que la variable aleatoria tome el valor \(x\), dada por \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) para \(0\le x\le 1\) y 0 en caso contrario. El área bajo \(f(x)\) sobre \([0,1]\) es igual a 1.
- Probabilidad acumulada inferior P(x) / FCD
- La función de distribución acumulada, \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\). Es igual a la función beta incompleta regularizada \(I_x(a,b)\) y aumenta monótonamente de 0 en \(x=0\) a 1 en \(x=1\).
- Probabilidad acumulada superior Q(x) / función de supervivencia
- La probabilidad complementaria (de cola), \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\). Disminuye de 1 en \(x=0\) a 0 en \(x=1\).
- Función beta B(a,b)
- La constante normalizadora de la distribución, \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Es simétrica: \(B(a,b)=B(b,a)\).
- Función gamma \(\Gamma(z)\)
- La extensión continua del factorial, definida por \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\), con \(\Gamma(n)=(n-1)!\) para enteros positivos \(n\) y la recurrencia \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\).
- Función beta incompleta regularizada \(I_x(a,b)\)
- La razón \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\), que varía de 0 a 1 y es exactamente la FCD de la distribución Beta, por lo que \(P(x)=I_x(a,b)\).
Preguntas frecuentes
¿Qué valores puede tomar x? La distribución Beta está definida en [0, 1]; fuera de ese intervalo la densidad es 0.
¿Qué controlan a y b? Determinan la forma de la curva: con \(a = b = 1\) se obtiene la distribución uniforme, los valores grandes concentran la masa cerca de la media \(\frac{a}{a+b}\) y los valores menores que 1 desplazan la masa hacia los extremos.
¿Por qué la densidad puede ser muy grande cerca de los extremos? Cuando \(a < 1\) la densidad diverge a medida que \(x\) se aproxima a 0, y cuando \(b < 1\) diverge a medida que \(x\) se aproxima a 1; estos extremos se tratan mediante reglas de límite.
