베타분포 계산기란?
베타분포는 구간 [0, 1]에서 정의되는 연속확률분포로, 두 개의 양의 형상모수 a와 b에 의해 모양이 결정됩니다. 베이즈 통계학에서 확률에 대한 켤레사전분포로 널리 쓰이며, 신뢰성 분석, 프로젝트 일정 관리(PERT), 비율(proportion) 모델링 등에도 자주 활용됩니다. 이 계산기는 여러 x 값에 대해 확률밀도함수 f(x), 하측 누적확률 P(x)(누적분포함수), 상측 누적확률 Q(x)(생존함수)를 계산하고, 선택한 함수를 선 그래프로 그려 줍니다.
사용 방법
먼저 계산할 함수를 선택하고, 형상모수 a와 b를 입력합니다(둘 다 0보다 커야 합니다). 그런 다음 x의 시작값, 증가폭(step), 행의 개수를 지정하세요. 계산기는 \(x = \text{시작값},\ \text{시작값} + \text{step},\ \text{시작값} + 2\cdot\text{step},\ \dots\) 순서로 선택한 함수를 계산합니다. 기본값(시작 0, step 0.01, 101행)을 사용하면 \(x = 0.00\)부터 \(x = 1.00\)까지 전 구간을 한눈에 살펴볼 수 있습니다. 결과로는 첫 번째 x에서의 값, 전체 표, 그리고 그래프가 표시됩니다.
공식 설명
밀도함수는 다음과 같이 정의되며,
$$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)}$$여기서 베타함수
$$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$는 전체 면적을 1로 정규화하는 역할을 합니다. 수치적 안정성을 위해 로그 감마 함수(Lanczos 근사)를 사용하므로, \(B(a,b)\)는 \(\exp\!\big(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b)\big)\)로 계산됩니다. 하측 누적확률은 정규화된 불완전 베타함수 \(I_x(a,b)\)와 같으며, 『수치해석 레시피(Numerical Recipes)』의 연분수 방식(betacf/betai)으로 계산합니다. 상측 누적확률은 간단히 \(Q = 1 - P\)입니다.
계산 예시
\(a = 2\), \(b = 3\), \(x = 0.3\)인 경우를 살펴봅시다. \(B(2,3) = (1\cdot 2)/24 = 0.0833333\)이므로
$$f(0.3) = 12 \cdot 0.3 \cdot 0.7^2 = 12 \cdot 0.147 = 1.764$$가 됩니다. 하측 누적확률 \(P(0.3) = I_{0.3}(2,3) = 0.3483\)이고, 상측 누적확률 \(Q(0.3) = 1 - 0.3483 = 0.6517\)입니다.
주요 공식 및 모멘트
베타 분포는 구간 \([0,1]\)에서 정의된 연속 확률 분포이며, 두 개의 양의 형태 모수 \(a>0\)과 \(b>0\)으로 지배됩니다. 그 확률 밀도 함수는
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$정규화 상수 \(B(a,b)\)는 베타 함수이며, 감마 함수를 통해 다음과 같이 표현됩니다
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$주요 모멘트와 형태 기술자는 다음과 같이 요약됩니다.
| 양 | 공식 | 조건 |
|---|---|---|
| 평균 | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | 모든 \(a,b>0\) |
| 분산 | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | 모든 \(a,b>0\) |
| 최빈값 | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| 왜도 | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | 모든 \(a,b>0\) |
\(a=2\)이고 \(b=5\)인 경우를 예로 들면, 평균은 \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\)이고 분산은 \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\)입니다. 두 모수가 모두 1을 초과하므로 최빈값은 \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\)입니다. \(a=b\)일 때 분포는 \(x=0.5\)에 대해 대칭이고 왜도는 0입니다. \(b>a\)일 때는 우측 치우쳐 있고 \(a>b\)일 때는 좌측 치우쳐 있습니다. 특수한 경우 \(a=b=1\)은 \([0,1]\)에서의 표준 균등 분포로 축소됩니다.
정의 및 용어집
- 형태 모수 a
- 첫 번째 양의 형태 모수 (\(a>0\)). 이는 \(x=0\) 근처에서의 밀도 거동을 제어합니다. 값 \(a<1\)은 질량을 0으로 밀어냅니다 (밀도 발산), \(a=1\)은 유한한 끝점을 제공하고, \(a>1\)은 0에서 밀도를 0으로 만듭니다. \(b\)에 대한 \(a\)가 클수록 평균을 1 방향으로 이동시킵니다.
- 형태 모수 b
- 두 번째 양의 형태 모수 (\(b>0\)). 이는 \(a\)가 0 근처에서의 거동을 지배하는 방식과 거울상 방식으로 \(x=1\) 근처에서의 밀도를 지배합니다. \(a\)에 대한 \(b\)가 클수록 평균을 0 방향으로 이동시킵니다.
- 확률 밀도 함수 f(x)
- \([0,1]\)에 대해 \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\)로 주어지는 난수 변수가 값 \(x\)를 취할 확률이며, 다른 곳에서는 0입니다. \(f(x)\)의 \([0,1]\) 위의 면적은 1과 같습니다.
- 하부 누적 확률 P(x) / CDF
- 누적 분포 함수, \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\). 이는 정규화된 불완전 베타 함수 \(I_x(a,b)\)와 같으며 \(x=0\)에서 0에서 \(x=1\)에서 1로 단조롭게 증가합니다.
- 상부 누적 확률 Q(x) / 생존 함수
- 여사건 (꼬리) 확률, \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\). 이는 \(x=0\)에서 1에서 \(x=1\)에서 0으로 감소합니다.
- 베타 함수 B(a,b)
- 분포의 정규화 상수, \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). 이는 대칭입니다: \(B(a,b)=B(b,a)\).
- 감마 함수 \(\Gamma(z)\)
- 계승의 연속 확장, \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\)로 정의되며, 양의 정수 \(n\)에 대해 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)이고 재귀 \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\)를 만족합니다.
- 정규화된 불완전 베타 함수 \(I_x(a,b)\)
- 비율 \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\), 이는 0에서 1 범위에 있으며 베타 분포의 CDF와 정확히 같으므로 \(P(x)=I_x(a,b)\)입니다.
자주 묻는 질문
x는 어떤 범위를 가질 수 있나요? 베타분포는 [0, 1] 구간에서만 정의됩니다. 이 구간을 벗어나면 밀도는 0입니다.
a와 b는 무엇을 조절하나요? 두 값은 곡선의 모양을 결정합니다. \(a = b = 1\)이면 균등분포가 되고, 값이 클수록 평균 \(a/(a+b)\) 부근에 질량이 집중되며, 1보다 작으면 질량이 양 끝 쪽으로 쏠립니다.
왜 가장자리에서 밀도가 매우 커질 수 있나요? \(a < 1\)이면 x가 0에 가까워질 때 밀도가 발산하고, \(b < 1\)이면 x가 1에 가까워질 때 발산합니다. 이러한 끝점은 극한 규칙으로 처리됩니다.
