ما هي حاسبة توزيع بيتا؟
توزيع بيتا (Beta) هو توزيع احتمالي متصل مُعرَّف على الفترة [0، 1]، ويتحكم فيه معاملا شكل موجبان هما \(a\) و\(b\). يُستخدم هذا التوزيع على نطاق واسع في الإحصاء البايزي (كتوزيع مُسبق مرافق للاحتمالات)، وتحليل الموثوقية، وجدولة المشاريع (طريقة PERT)، ونمذجة النِّسَب. تحسب هذه الأداة دالة كثافة الاحتمال \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(x)\) (وهو دالة التوزيع التراكمي)، والاحتمال التراكمي العلوي \(Q(x)\) (دالة البقاء) عبر مجموعة من قيم \(x\)، كما ترسم منحنى الدالة المختارة.
طريقة الاستخدام
اختر الدالة التي تريد حسابها، ثم أدخل معاملي الشكل \(a\) و\(b\) (يجب أن يكون كلاهما أكبر من 0)، بعد ذلك حدِّد قيمة \(x\) الابتدائية، ومقدار الخطوة، وعدد الصفوف. تحسب الأداة الدالة المختارة عند \(x = \text{القيمة الابتدائية}\)، ثم القيمة الابتدائية + الخطوة، ثم القيمة الابتدائية + \(2 \times\) الخطوة، وهكذا. وباستخدام القيم الافتراضية (البداية 0، الخطوة 0.01، 101 صف) تحصل على مسح كامل من \(x = 0.00\) إلى \(x = 1.00\). تعرض النتيجة القيمة عند أول \(x\)، وجدولًا كاملًا، ورسمًا بيانيًا.
شرح المعادلة
دالة الكثافة هي $$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)}$$ حيث تقوم دالة بيتا $$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ بتطبيع المساحة لتساوي 1. ولتحقيق الاستقرار العددي نعتمد على دالة لوغاريتم غاما (تقريب لانكزوس)، فتُحسب \(B(a,b)\) على الصورة \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\). أما الاحتمال التراكمي السفلي فيساوي دالة بيتا الناقصة المنظَّمة \(I_x(a,b)\)، وتُحسب بطريقة الكسر المستمر من Numerical Recipes (عبر الدالتين betacf/betai). والاحتمال التراكمي العلوي ببساطة هو \(Q = 1 - P\).
مثال محلول
لنأخذ \(a = 2\) و\(b = 3\) و\(x = 0.3\). هنا $$B(2,3) = \frac{1\cdot 2}{24} = 0.0833333$$ إذن $$f(0.3) = 12 \cdot 0.3 \cdot 0.7^2 = 12 \cdot 0.147 = 1.764$$ ويكون الاحتمال التراكمي السفلي \(P(0.3) = I_{0.3}(2,3) = 0.3483\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(Q(0.3) = 1 - 0.3483 = 0.6517\).
الصيغ والعزوم الرئيسية
توزيع بيتا هو توزيع احتمالي مستمر معرّف على فترة الدعم \([0,1]\)، يحكمه معاملان شكليان موجبان \(a>0\) و \(b>0\). دالة الكثافة الاحتمالية له هي
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$الثابت المُعايِر \(B(a,b)\) هو دالة بيتا، والتي يُعبّر عنها من خلال دوال جاما كما يلي
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$تُلخّص الجدول أدناه العزوم الرئيسية ووصفات الشكل.
| الكمية | الصيغة | الشروط |
|---|---|---|
| المتوسط | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | جميع \(a,b>0\) |
| التباين | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | جميع \(a,b>0\) |
| المنوال | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| الالتواء | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | جميع \(a,b>0\) |
على سبيل المثال، مع \(a=2\) و \(b=5\) المتوسط هو \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\) والتباين هو \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\). وبما أن كلا المعاملين يتجاوز 1، فإن المنوال هو \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\). عندما يكون \(a=b\) يكون التوزيع متماثلاً حول \(x=0.5\) والالتواء يساوي صفراً؛ عندما يكون \(b>a\) يكون ملتوياً لليمين، وعندما يكون \(a>b\) يكون ملتوياً لليسار. الحالة الخاصة \(a=b=1\) تختزل إلى التوزيع المنتظم القياسي على \([0,1]\).
التعاريف والمسرد
- معامل الشكل a
- معامل الشكل الموجب الأول (\(a>0\)). يتحكم في السلوك في بالقرب من \(x=0\): القيم \(a<1\) تدفع الكتلة نحو 0 (الكثافة تتباعد)، \(a=1\) يعطي نقطة نهاية محدودة، و \(a>1\) يجعل الكثافة تختفي عند 0. زيادة \(a\) بالنسبة إلى \(b\) تزيح المتوسط نحو 1.
- معامل الشكل b
- معامل الشكل الموجب الثاني (\(b>0\)). يتحكم في السلوك بالقرب من \(x=1\) بطريقة تعكس الطريقة التي يتحكم بها \(a\) في السلوك بالقرب من 0. زيادة \(b\) بالنسبة إلى \(a\) تزيح المتوسط نحو 0.
- دالة الكثافة الاحتمالية f(x)
- الاحتمالية النسبية لأن يأخذ المتغير العشوائي القيمة \(x\)، والمعطاة بـ \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) لـ \(0\le x\le 1\) و 0 في مكان آخر. المساحة تحت \(f(x)\) على \([0,1]\) تساوي 1.
- الاحتمالية الجراكمة السفلى P(x) / دالة التوزيع التجميعي CDF
- دالة التوزيع التجميعي، \(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\). تساوي دالة بيتا غير المكتملة المنتظمة \(I_x(a,b)\) وتزداد رتابةً من 0 عند \(x=0\) إلى 1 عند \(x=1\).
- الاحتمالية التجميعية العليا Q(x) / دالة البقاء
- الاحتمالية المكملة (الذيل)، \(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\). تنخفض من 1 عند \(x=0\) إلى 0 عند \(x=1\).
- دالة بيتا B(a,b)
- ثابت التعايير للتوزيع، \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). إنها متماثلة: \(B(a,b)=B(b,a)\).
- دالة جاما \(\Gamma(z)\)
- التوسيع المستمر للعاملي، المعرّفة بـ \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\)، حيث \(\Gamma(n)=(n-1)!\) للأعداد الصحيحة الموجبة \(n\) والعودة الرجعية \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\).
- دالة بيتا غير المكتملة المنتظمة \(I_x(a,b)\)
- النسبة \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\)، والتي تتراوح من 0 إلى 1 وهي بالضبط دالة التوزيع التجميعي لتوزيع بيتا، لذا \(P(x)=I_x(a,b)\).
الأسئلة الشائعة
ما المدى الذي يمكن أن تأخذه \(x\)؟ يُعرَّف توزيع بيتا على الفترة [0، 1]؛ وخارج هذه الفترة تكون الكثافة صفرًا.
فيمَ يتحكم المعاملان \(a\) و\(b\)؟ هما اللذان يشكّلان المنحنى: فعندما \(a = b = 1\) نحصل على التوزيع المنتظم، والقيم الكبيرة تركّز الكتلة قرب المتوسط \(\frac{a}{a+b}\)، أما القيم الأقل من 1 فتدفع الكتلة نحو الأطراف.
لماذا قد تكون الكثافة كبيرة جدًا قرب الأطراف؟ عندما يكون \(a < 1\) تتباعد الكثافة (تتجه إلى ما لا نهاية) كلما اقتربت \(x\) من 0، وعندما يكون \(b < 1\) تتباعد كلما اقتربت \(x\) من 1؛ وتُعالَج هذه النقاط الطرفية باستخدام قواعد النهايات.
