什麼是 Beta 分布計算器？
Beta 分布是一種定義在區間 [0, 1] 上的連續機率分布，由兩個正的形狀參數 a 與 b 共同決定。它廣泛應用於貝氏統計（作為機率的共軛先驗分布）、可靠度分析、專案排程（PERT）以及各種比例的建模。本計算器會在一系列 x 值上計算機率密度函數 f(x)、下累積機率 P(x)（即累積分布函數）與上累積機率 Q(x)（即存活函數），並將所選函數繪製成折線圖。
使用方式
先選擇要計算的函數，輸入形狀參數 a 與 b（兩者都必須大於 0），再設定起始的 x 值、間距（step）以及列數。計算器會依序在 x = 起始值、起始值 + 間距、起始值 + 2×間距……等位置計算所選函數。採用預設值（起始 0、間距 0.01、共 101 列）時，便可完整掃描 x = 0.00 到 x = 1.00 的範圍。結果會顯示第一個 x 對應的數值、一份完整的數值表，以及一張圖表。
公式說明
機率密度為 $$f(x,a,b) = \frac{x^{\,a-1}\,(1-x)^{\,b-1}}{B(a,b)},$$ 其中 beta 函數 $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ 用來將曲線下的面積標準化為 1。為了確保數值穩定，我們採用對數 gamma 函數（Lanczos 近似法）來運算，因此 \(B(a,b)\) 是以 \(\exp(\ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b))\) 計算得出。下累積機率等於正規化不完全 beta 函數 \(I_x(a,b)\)，以 Numerical Recipes 的連分數法（betacf/betai）求得；上累積機率則只需 \(Q = 1 - P\)。
實際範例
取 \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(x = 0.3\)。此時 \(B(2,3) = (1 \cdot 2)/24 = 0.0833333\)，因此 $$f(0.3) = 12 \cdot 0.3 \cdot 0.7^2 = 12 \cdot 0.147 = 1.764.$$ 下累積機率為 \(P(0.3) = I_{0.3}(2,3) = 0.3483\)，上累積機率則為 \(Q(0.3) = 1 - 0.3483 = 0.6517\)。
關鍵公式及時刻
貝塔分佈是定義在支撐區間 \([0,1]\) 上的連續機率分佈，由兩個正形狀參數 \(a>0\) 和 \(b>0\) 控制。其機率密度函數為
$$f(x)=\frac{x^{a-1}\,(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$$正規化常數 \(B(a,b)\) 是**貝塔函數**，透過伽馬函數表示為
$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$主要時刻和形狀描述子總結如下。
| 量 | 公式 | 條件 |
|---|---|---|
| 平均數 | \(\mu=\dfrac{a}{a+b}\) | 所有 \(a,b>0\) |
| 變異數 | \(\sigma^2=\dfrac{ab}{(a+b)^2\,(a+b+1)}\) | 所有 \(a,b>0\) |
| 眾數 | \(\dfrac{a-1}{a+b-2}\) | \(a>1,\ b>1\) |
| 偏度 | \(\gamma_1=\dfrac{2\,(b-a)\,\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\,\sqrt{ab}}\) | 所有 \(a,b>0\) |
例如，當 \(a=2\) 和 \(b=5\) 時，平均數為 \(\mu=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857\)，變異數為 \(\sigma^2=\dfrac{2\cdot 5}{(7)^2(8)}=\dfrac{10}{392}\approx 0.0255\)。由於兩個參數都超過 1，眾數為 \(\dfrac{2-1}{2+5-2}=\dfrac{1}{5}=0.2\)。當 \(a=b\) 時，分佈關於 \(x=0.5\) 對稱，偏度為零；當 \(b>a\) 時呈右偏態，當 \(a>b\) 時呈左偏態。特殊情況 \(a=b=1\) 簡化為 \([0,1]\) 上的標準均勻分佈。
定義及詞彙表
- 形狀參數 a
- 第一個正形狀參數（\(a>0\)）。它控制密度在 \(x=0\) 附近的行為：值 \(a<1\) 將質量推向 0（密度發散），\(a=1\) 給出有限的端點，\(a>1\) 使密度在 0 處消失。相對於 \(b\) 較大的 \(a\) 將平均數向 1 移動。
- 形狀參數 b
- 第二個正形狀參數（\(b>0\)）。它以鏡像方式控制密度在 \(x=1\) 附近的行為，類似 \(a\) 控制 0 附近的行為。相對於 \(a\) 較大的 \(b\) 將平均數向 0 移動。
- 機率密度函數 f(x)
- 給定隨機變數取值 \(x\) 的相對可能性，由 \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) 給出，其中 \(0\le x\le 1\)，在其他處為 0。\(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上的面積等於 1。
- 下累積機率 P(x) / 累積分佈函數
- 累積分佈函數，\(P(x)=\Pr(X\le x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\)。它等於正規化不完全貝塔函數 \(I_x(a,b)\)，從 \(x=0\) 時的 0 單調遞增到 \(x=1\) 時的 1。
- 上累積機率 Q(x) / 生存函數
- 互補（尾部）機率，\(Q(x)=\Pr(X> x)=1-P(x)\)。它從 \(x=0\) 時的 1 遞減到 \(x=1\) 時的 0。
- 貝塔函數 B(a,b)
- 分佈的正規化常數，\(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)。它是對稱的：\(B(a,b)=B(b,a)\)。
- 伽馬函數 \(\Gamma(z)\)
- 階乘的連續擴展，由 \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\) 定義，其中正整數 \(n\) 時 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)，以及遞推關係 \(\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\)。
- 正規化不完全貝塔函數 \(I_x(a,b)\)
- 比率 \(I_x(a,b)=\dfrac{1}{B(a,b)}\displaystyle\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\)，其範圍從 0 到 1，正好是貝塔分佈的累積分佈函數，因此 \(P(x)=I_x(a,b)\)。
常見問題
x 的取值範圍為何？ Beta 分布定義在 [0, 1] 上；超出此區間時，機率密度為 0。
a 與 b 各自控制什麼？ 它們決定曲線的形狀：\(a = b = 1\) 時為均勻分布；數值較大時機率集中在平均數 \(a/(a+b)\) 附近；數值小於 1 時則會把機率往兩端推。
為什麼密度在兩端可能變得非常大？ 當 \(a < 1\) 時，x 趨近 0 時密度會發散；當 \(b < 1\) 時，x 趨近 1 時密度會發散；這些端點是以極限規則來處理的。
