什麼是二項分布？
二項分布描述的是在固定 \(n\) 次獨立試驗中，成功次數 \(x\) 的機率分布，其中每次試驗成功的機率都相同，記為 \(p\)（也就是所謂的伯努利試驗）。它可以回答像是「丟 20 次硬幣，剛好出現 5 次正面的機率有多少？」這類問題。這純粹是數學概念，全世界的算法完全一致，沒有單位，也不受任何國家或地區規範的影響。
如何使用這個計算器
首先選擇要計算的函數：機率質量 \(f(x)\)（恰好出現 \(x\) 次成功的機率）、下累積機率 \(P(X \le x)\)，或上累積機率 \(Q(X \ge x)\)。接著輸入試驗次數 \(n\)、每次試驗的成功機率 \(p\)（介於 0 到 1 之間），然後設定起始的成功次數（初始 \(x\)）、每一列之間的間隔（步長），以及要產生的列數。本工具會將所選函數列表呈現，並以長條相鄰的離散直方圖繪製出來。
公式解析
機率質量函數為 $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{\,n-x}$$其中 \(\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\) 是二項式係數。下累積機率 \(P(x)\) 是 \(f\) 從 \(t = 0\) 到 \(x\) 的總和；上累積機率 \(Q(x)\) 則是 \(f\) 從 \(t = x\) 到 \(n\) 的總和。為了避免 \(n\) 較大時階乘運算溢位，本計算器改用對數伽瑪函數來計算係數：$$\ln f = \ln\Gamma(n+1) - \ln\Gamma(x+1) - \ln\Gamma(n-x+1) + x\cdot\ln p + (n-x)\cdot\ln(1-p)$$此分布的平均數為 \(np\)，變異數為 \(np(1-p)\)。
實例演算
當 \(n = 20\)、\(p = 0.25\)，計算 \(x = 0\) 到 \(12\) 的機率質量函數時：\(f(0) \approx 0.003171\)、\(f(1) \approx 0.021142\)、\(f(2) \approx 0.066948\)、\(f(3) \approx 0.133897\)、\(f(4) \approx 0.189691\)、\(f(5) \approx 0.202337\)。最高峰出現在 \(x = 5\)，恰好等於平均數 $$np = 20 \times 0.25 = 5$$與理論預期完全吻合。
定義與詞彙表
- 試驗：隨機實驗的單次重複，具有固定、明確定義的結果集合。
- 伯努利試驗：一個試驗，具有恰好兩個互斥的結果，通常標記為「成功」和「失敗」。
- 成功機率 \(p\)：單次試驗導致成功的機率，其中 \(0 \le p \le 1\)。假設在所有試驗中保持不變。
- 試驗次數 \(n\)：實驗中獨立伯努利試驗的固定數量，為非負整數。
- 成功次數 \(x\)：在 \(n\) 次試驗中觀察到的成功次數；\(x\) 是整數，\(0 \le x \le n\)。
- 機率質量函數 \(f(x)\)：給出恰好 \(x\) 次成功的機率的機率質量函數：\(f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\)。
- 下累積機率 \(P(X\le x)\)：累積分佈函數，至多 \(x\) 次成功的機率：\(P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)\)。
- 上累積機率 \(Q(X\ge x)\)：至少 \(x\) 次成功的機率：\(Q(X\ge x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X\le x-1)\)。
- 二項式係數 \(\binom{n}{x}\)：從 \(n\) 次試驗中選擇 \(x\) 次成功的不同方式數量，\(\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\)。
- 平均值 \(np\)：成功次數的期望值，\(\mu = np\)。
- 變異數 \(np(1-p)\)：成功次數計數的變異數，\(\sigma^{2}=np(1-p)\)；標準差為 \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)。
解釋您的結果
這三個量回答了關於同一實驗的三個不同問題：
- \(f(x)\) — 恰好 \(x\)：恰好獲得 \(x\) 次成功且沒有其他數量的機率。用於「恰好 k」的問題。
- \(P(X\le x)\) — 至多 \(x\)：成功次數不超過 \(x\) 的機率。用於「至多 k」、「不超過 k」或「少於 k+1」的問題。
- \(Q(X\ge x)\) — 至少 \(x\)：\(x\) 次或更多次成功的機率。用於「至少 k」、「k 次或以上」或「超過 k−1」的問題。
將真實問題對應到函數。仔細翻譯措辭，注意邊界：
- 「至少 \(k\)」 \(\Rightarrow Q(X\ge k)\)。
- 「超過 \(k\)」 \(\Rightarrow Q(X\ge k+1) = 1 - P(X\le k)\)。
- 「至多 \(k\)」 \(\Rightarrow P(X\le k)\)。
- 「少於 \(k\)」 \(\Rightarrow P(X\le k-1)\)。
- 「在 \(a\) 和 \(b\) 之間（含端點）」 \(\Rightarrow P(X\le b) - P(X\le a-1)\)。
\(P\)/\(Q\) 重疊。由於 \(P(X\le x)\) 和 \(Q(X\ge x)\) 都包含項 \(f(x)\)，它們在相同的 \(x\) 處不是互補的。實際上 \(P(X\le x) + Q(X\ge x) = 1 + f(x)\)，所以兩個累積尾部恰好在一個點質量處重疊。\(Q(X\ge x)\) 的真實補集是 \(P(X\le x-1)\)，而不是 \(P(X\le x)\)。
常態近似。當 \(np\) 和 \(n(1-p)\) 都相當大時（常見的經驗法則是各 \(\ge 5\)，理想情況下 \(\ge 10\)），二項分佈被一個平均值 \(\mu = np\) 和標準差 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) 的常態分佈很好地近似。在將離散計數轉換為連續常態尺度時應用連續性修正（例如，使用 \(x+0.5\) 或 \(x-0.5\)）。對於具有小 \(p\) 的大 \(n\)（因此 \(np\) 保持適度），具有 \(\lambda = np\) 的卜瓦松分佈是更準確的近似。
常見問題
為什麼 \(P(x) + Q(x)\) 不等於 1？因為兩個累積機率都包含了 \(t = x\) 這一點，所以 \(P(x) + Q(x) = 1 + f(x)\)。這裡刻意採用「下累積含 \(x\)、上累積也含 \(x\)」的重疊慣例。
如果 \(x\) 超出 0 到 \(n\) 的範圍會怎樣？此時機率質量為 0；下累積機率會被限制為 0（當 \(x < 0\)）或 1（當 \(x \ge n\)），上累積機率則被限制為 1（當 \(x \le 0\)）或 0（當 \(x > n\)）。
可以使用很大的 \(n\) 嗎？可以。透過對數伽瑪函數運算，即使 \(n\) 很大、直接以階乘計算會溢位的情況下，結果依然保持穩定。
