什麼是非中心卡方分配？
非中心卡方分配（noncentral chi-squared distribution）是一般（中心）卡方分配的推廣，差別在於多了一個非中心參數 lambda。它描述的是「平均數不為零」的多個獨立常態變數其平方和的分配情形。這種分配在統計檢定力分析、訊號偵測與假設檢定中應用相當廣泛。本計算器屬於純數學運算，全球通用——不涉及任何特定國家或地區的規定。
如何使用本計算器
首先選擇要輸出的數值：機率密度 f、下側累積機率 P，或上側累積機率 Q。接著輸入自由度 nu（必須大於 0）、非中心參數 lambda（必須大於或等於 0），以及參考的 x 值。若要產生一段範圍內的 (x, 數值) 對照表，可再設定 x 的起始值、每一步的增量，以及要產生的列數。
公式說明
非中心卡方分配可視為以 Poisson(lambda/2) 為權重，對一系列中心卡方分配所做的加權混合。第 j 項的權重為 \(w_j = e^{-\lambda/2} \times (\lambda/2)^j / j!\)。其密度函數 f 等於各 \(w_j\) 乘上自由度為 \(\nu+2j\) 的中心卡方密度後的總和。
$$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$下側累積機率則是把相同的權重套用在中心卡方的累積分配函數（CDF）上，其中會用到正則化下不完全 gamma 函數。
$$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$上側累積機率則只需以 \(Q = 1 - P\) 求得。
實際範例
以 \(\nu = 3\)、\(\lambda = 1\)、\(x = 2\) 為例：Poisson(0.5) 的權重依序為 \(0.6065\)、\(0.3033\)、\(0.0758\)、\(0.0126\)、\(0.0016\)。在 \(x = 2\) 時，自由度為 3、5、7、9、11 的中心卡方 CDF 分別為 \(0.4276\)、\(0.1511\)、\(0.0387\)、\(0.0074\)、\(0.0011\)。將兩者加權相加後，得到 P 約為 \(0.3082\)，因此 Q 約為 \(0.6918\)。而同一點的密度 f 約為 \(0.173\)。
常見問題
當 lambda = 0 時會發生什麼？此時分配會完全退化為自由度 nu 的中心卡方分配，因為只剩下 j=0 這一項（權重為 1）有作用。
nu 可以是非整數嗎？可以。由於採用 gamma 函數，任何大於 0 的 nu 都能處理，所以分數型的自由度同樣有效。
為什麼在 x = 0 時密度為 0？當 nu 大於或等於 2 時，密度在原點為 0；當 nu 小於 2 時，密度則會發散。因此本計算器在實務上會將 x = 0 處的值統一回傳為 0。
