비중심 카이제곱 분포란?
비중심 카이제곱 분포(noncentral chi-squared distribution)는 일반적인 중심 카이제곱 분포에 비중심 모수 \(\lambda\)를 더해 일반화한 분포입니다. 평균이 0이 아닌 독립 정규변수들의 제곱합이 따르는 분포로, 통계적 검정력 분석, 신호 검출, 가설검정 등에서 폭넓게 활용됩니다. 이 계산기는 순수한 수학에 기반하므로 국가나 지역에 관계없이 동일하게 적용되며, 특정 국가의 규정이 개입되지 않습니다.
계산기 사용 방법
먼저 출력할 값을 선택합니다. 확률밀도 \(f\), 하측 누적확률 \(P\), 상측 누적확률 \(Q\) 중에서 고르면 됩니다. 그다음 자유도 \(\nu\)(0보다 커야 함), 비중심 모수 \(\lambda\)(0 이상이어야 함), 기준이 되는 \(x\) 값을 입력하세요. 또한 \(x\)의 초기값, 증가폭(step), 생성할 행 수를 지정하면 일정 범위에 걸친 \((x, \text{결과값})\) 쌍의 표를 만들 수 있습니다.
공식 설명
비중심 카이제곱 분포는 중심 카이제곱 분포들을 포아송(\(\lambda/2\)) 가중치로 혼합한 것입니다. \(j\)번째 항의 가중치는 $$w_j = \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}$$ 로 주어집니다. 확률밀도는 자유도 \(\nu+2j\)를 갖는 중심 카이제곱 밀도에 각각 \(w_j\)를 곱해 모두 더한 값, 즉 $$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j$$입니다. 하측 누적확률은 같은 혼합 방식을 중심 카이제곱 누적분포함수(CDF)에 적용한 것으로, 정규화된 하측 불완전 감마함수를 사용합니다. $$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)$$ 상측 누적확률은 간단히 \(Q = 1 - P\) 로 구합니다.
예제 풀이
\(\nu = 3\), \(\lambda = 1\), \(x = 2\) 인 경우를 살펴봅니다. 포아송(0.5) 가중치는 \(0.6065, 0.3033, 0.0758, 0.0126, 0.0016\) 입니다. 자유도 3, 5, 7, 9, 11에 대한 \(x=2\)에서의 중심 카이제곱 CDF 값은 각각 \(0.4276, 0.1511, 0.0387, 0.0074, 0.0011\) 입니다. 이를 가중 합산하면 \(P\)는 약 \(0.3082\)가 되고, 따라서 \(Q\)는 약 \(0.6918\)이 됩니다. 같은 지점에서의 확률밀도 \(f\)는 약 \(0.173\) 입니다.
자주 묻는 질문
\(\lambda = 0\) 이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(j=0\) 항만 가중치 1로 남기 때문에, 분포는 정확히 자유도 \(\nu\)의 중심 카이제곱 분포로 환원됩니다.
\(\nu\)가 정수가 아니어도 되나요? 가능합니다. 감마함수는 0보다 큰 모든 \(\nu\)를 처리할 수 있으므로, 소수 형태의 자유도도 유효합니다.
\(x = 0\) 에서 밀도가 0인 이유는? \(\nu\)가 2 이상일 때 원점에서의 밀도는 0이며, \(\nu\)가 2 미만이면 무한대로 발산합니다. 따라서 이 계산기는 실용적인 한계값으로 \(x = 0\) 에서 0을 반환합니다.
