이 도구의 기능
이 생성기는 지정한 자유도(그리스 문자 ν, 즉 v로 표기)를 갖는 카이제곱 분포에서 추출한 의사난수 목록을 만들어 줍니다. 카이제곱 분포는 통계학의 핵심 분포 중 하나로, 서로 독립인 표준정규 변수들을 제곱해 더한 값의 분포를 나타냅니다. 카이제곱 적합도 검정, 분산 추정, 신뢰구간 계산 등 다양한 통계 기법의 바탕이 됩니다.
사용 방법
먼저 자유도 v(0보다 큰 임의의 실수, 기본값 3)를 입력합니다. 그다음 생성할 난수 개수(1~1,000개, 기본값 10)를 지정하고, 각 값을 표시할 유효숫자 자리수를 선택하세요. 계산 버튼을 누르면 새로운 표본이 생성됩니다. 난수 생성기이므로 실행할 때마다 결과가 달라지지만, 함께 표시되는 이론적 평균(\(v\)), 분산(\(2v\)), 표준편차(\(\sqrt{2v}\))는 고정된 값입니다. 이 값들을 기준으로 생성된 표본이 합리적인지 확인할 수 있습니다.
공식 설명
카이제곱 분포의 확률밀도함수는 \(x \ge 0\)에 대해 $$f(x,v) = \frac{x^{v/2-1}\, e^{-x/2}}{2^{v/2}\, \Gamma\!\left(\tfrac{v}{2}\right)}$$ 입니다. 표본을 추출할 때는 자유도 \(v\)인 카이제곱 변수가 형상모수 \(v/2\), 척도모수 1인 감마 변수에 2를 곱한 값과 같다는 성질을 이용합니다. \(v\)가 정수일 때는 더 간단한 항등식 $$X = Z_1^{2} + Z_2^{2} + \dots + Z_v^{2}$$ 를 사용하는데, 각 \(Z\)는 박스-뮬러(Box-Muller) 변환으로 생성한 표준정규 변수입니다. \(v\)가 정수가 아닐 때는 마르사글리아-창(Marsaglia-Tsang) 감마 생성법을 적용한 뒤 2를 곱합니다.
계산 예시
\(v = 3\), 개수 = 10으로 설정하면 각 값은 세 개의 표준정규 변수를 제곱해 더한 값이 됩니다. 예를 들어 1.842, 4.317, 0.526, 2.991, 6.083, 1.205, 3.778, 0.914, 5.460, 2.337 같은 표본을 얻을 수 있습니다. 이들의 평균은 약 2.945로 이론적 평균인 3에 가깝습니다. 또한 모든 값이 조건대로 음이 아닌 값입니다.
자주 묻는 질문
왜 실행할 때마다 숫자가 바뀌나요? 생성기가 난수 소스를 사용하기 때문에 실행할 때마다 서로 독립적인 표본이 만들어집니다. 다만 이론적 통계량은 항상 동일하게 유지됩니다.
v를 소수로 지정해도 되나요? 가능합니다. 0보다 큰 값이면 어떤 값이든 유효하며, 정수가 아닌 경우에는 감마 생성법을 사용합니다.
1,000개를 초과해서 요청하면 어떻게 되나요? 개수는 허용 범위인 1~1,000 사이로 자동 제한됩니다.
