ما الذي تقوم به هذه الأداة
يقوم هذا المولّد بإنشاء قائمة من الأعداد شبه العشوائية المسحوبة من توزيع مربع كاي (Chi-Squared) عند عددٍ مختار من درجات الحرية، يُرمز إليه بالرمز \(v\) (الحرف اليوناني نيو). يُعدّ توزيع مربع كاي من أهم التوزيعات في علم الإحصاء، إذ يصف مجموع مربعات متغيرات طبيعية معيارية مستقلة، ويشكّل الأساس لاختبارات جودة المطابقة (goodness-of-fit)، وتقدير التباين، وحساب فترات الثقة.
كيفية الاستخدام
أدخل درجات الحرية \(v\) (أي عدد حقيقي موجب، والقيمة الافتراضية 3)، وعدد القيم العشوائية التي تريدها (من 1 إلى 1000، والقيمة الافتراضية 10)، ثم اختر عدد الأرقام المعنوية التي ستظهر بها كل قيمة. اضغط على «احسب» للحصول على عيّنة جديدة. ولأن المولّد يعمل عشوائيًا، فإن كل عملية تشغيل تعطي أرقامًا مختلفة، أما المتوسط النظري (\(v\)) والتباين (\(2v\)) والانحراف المعياري (الجذر التربيعي لـ \(2v\)) المعروضة بجانبها فهي ثابتة، وتتيح لك التحقق من منطقية العيّنة.
شرح الصيغة
دالة كثافة توزيع مربع كاي هي $$f(x,v) = \frac{1}{2^{v/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{v}{2}\right)}\, x^{\frac{v}{2}-1}\, e^{-x/2}, \quad x \ge 0$$ ولسحب العيّنات نستفيد من حقيقة أن متغير مربع كاي(\(v\)) يساوي ضعف متغير غاما بمعامل شكل \(v/2\) ومعامل قياس 1. فعندما تكون \(v\) عددًا صحيحًا نستخدم العلاقة الأبسط $$X = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_v^2$$ حيث كل \(Z\) متغير طبيعي معياري يُولَّد بطريقة تحويل بوكس-مولر (Box-Muller). أما عندما تكون \(v\) غير صحيحة فنستخدم طريقة غاما لمارساغليا-تسانغ (Marsaglia-Tsang) ثم نضرب الناتج في 2.
مثال تطبيقي
عند \(v = 3\) وعدد القيم = 10، تكون كل قيمة مجموع مربعات ثلاثة متغيرات طبيعية معيارية. وقد تكون العيّنة التمثيلية كالتالي: 1.842، 4.317، 0.526، 2.991، 6.083، 1.205، 3.778، 0.914، 5.460، 2.337. ويبلغ متوسطها نحو 2.945، وهو قريب من المتوسط النظري البالغ 3. ولاحظ أن كل قيمة غير سالبة كما هو مطلوب.
الأسئلة الشائعة
لماذا تتغيّر الأرقام في كل مرة؟ يعتمد المولّد على مصدر عشوائي، لذا تنتج كل عملية تشغيل عيّنة مستقلة. أما الإحصاءات النظرية فتبقى ثابتة.
هل يمكن أن تكون \(v\) عددًا عشريًا؟ نعم. أي قيمة لـ \(v\) أكبر من 0 صحيحة؛ وتستخدم الأداة طريقة غاما مع القيم غير الصحيحة.
ماذا لو طلبت أكثر من 1000 قيمة؟ يُحصر العدد ضمن النطاق المسموح به من 1 إلى 1000.
