這個工具的用途
本產生器會依您指定的自由度（以 \(v\) 表示，即希臘字母 nu）產生一組來自卡方分配的偽隨機亂數。卡方分配在統計學中相當基礎：它描述多個獨立標準常態變數平方和的分布，也是卡方適合度檢定、變異數估計與信賴區間背後的核心理論。
使用方式
請輸入自由度 \(v\)（任意正實數，預設為 3）、想產生的亂數個數（1 到 1000，預設為 10），並選擇每個數值要顯示的有效位數。按下計算即可取得一組全新樣本。由於是隨機抽樣，每次執行得到的數字都不同；但旁邊顯示的理論平均數（\(v\)）、變異數（\(2v\)）與標準差（\(\sqrt{2v}\)）是固定的，方便您用來檢查樣本是否合理。
公式說明
卡方分配的機率密度函數為
$$f(x) = \frac{1}{2^{v/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{v}{2}\right)}\, x^{\frac{v}{2}-1}\, e^{-x/2}, \quad x > 0$$其中 \(x \ge 0\)。抽樣時，我們利用一項性質：自由度為 \(v\) 的卡方變數，等於形狀參數 \(v/2\)、尺度參數 1 的 Gamma 變數乘以 2。當 \(v\) 為整數時，則改用更簡單的恆等式
$$X = \sum_{i=1}^{v} Z_i^{2}, \qquad Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$$其中每個 \(Z\) 都是以 Box-Muller 轉換產生的標準常態變數。若 \(v\) 非整數，則採用 Marsaglia-Tsang 的 Gamma 抽樣法後再乘以 2。
實例演算
以 \(v = 3\)、個數 = 10 為例，每個數值都是三個標準常態變數平方後的總和。一組具代表性的樣本可能是 \(1.842\)、\(4.317\)、\(0.526\)、\(2.991\)、\(6.083\)、\(1.205\)、\(3.778\)、\(0.914\)、\(5.460\)、\(2.337\)。它們的平均約為 \(2.945\)，與理論平均數 \(3\) 相當接近。如理論所要求，每個數值皆為非負數。
常見問題
為什麼每次的數字都不一樣？產生器使用隨機來源，因此每次執行都會得到一組獨立的樣本，但理論統計量始終維持不變。
\(v\) 可以是小數嗎？可以。任何大於 0 的 \(v\) 都有效；遇到非整數時，工具會自動改用 Gamma 抽樣法。
如果我要超過 1000 個數值會怎樣？個數會被限制在 1 到 1000 的允許範圍內。
