À quoi sert cet outil
Ce générateur produit une liste de nombres pseudo-aléatoires tirés d'une loi du khi-deux pour un nombre de degrés de liberté donné, noté \(v\) (la lettre grecque nu). La loi du khi-deux occupe une place centrale en statistique : elle décrit la somme des carrés de variables normales centrées réduites indépendantes et sous-tend les tests d'ajustement du khi-deux, l'estimation de la variance et le calcul d'intervalles de confiance.
Comment l'utiliser
Saisissez les degrés de liberté \(v\) (n'importe quel réel positif, 3 par défaut), le nombre de valeurs aléatoires souhaitées (de 1 à 1000, 10 par défaut), puis choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher pour chaque valeur. Cliquez sur calculer pour obtenir un nouvel échantillon. Comme le tirage est aléatoire, chaque exécution renvoie des nombres différents ; en revanche, la moyenne théorique (\(v\)), la variance (\(2v\)) et l'écart-type (\(\sqrt{2v}\)) affichés à côté restent fixes et vous permettent de vérifier la cohérence de l'échantillon.
La formule expliquée
La densité du khi-deux s'écrit $$f(x) = \frac{1}{2^{v/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{v}{2}\right)}\, x^{\frac{v}{2}-1}\, e^{-x/2}, \quad x > 0$$ pour \(x \ge 0\). Pour générer les valeurs, on s'appuie sur le fait qu'une variable khi-deux(\(v\)) est égale à 2 fois une variable Gamma de paramètre de forme \(v/2\) et d'échelle 1. Lorsque \(v\) est entier, on utilise l'identité plus simple $$X = Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_v^2,$$ où chaque \(Z\) est une loi normale centrée réduite obtenue par la transformation de Box-Muller. Pour un \(v\) non entier, on recourt à la méthode Gamma de Marsaglia-Tsang, puis on multiplie par 2.
Exemple détaillé
Avec \(v = 3\) et un effectif de 10, chaque valeur est la somme de trois carrés de variables normales centrées réduites. Un échantillon représentatif pourrait être : 1,842 ; 4,317 ; 0,526 ; 2,991 ; 6,083 ; 1,205 ; 3,778 ; 0,914 ; 5,460 ; 2,337. Leur moyenne avoisine 2,945, proche de la moyenne théorique de 3. Toutes les valeurs sont positives, comme attendu.
FAQ
Pourquoi mes nombres changent-ils à chaque fois ? Le générateur s'appuie sur une source aléatoire : chaque exécution produit un échantillon indépendant. Les statistiques théoriques, elles, ne varient pas.
Le paramètre \(v\) peut-il être un nombre décimal ? Oui. Toute valeur de \(v\) strictement supérieure à 0 est valable ; l'outil applique la méthode Gamma pour les valeurs non entières.
Que se passe-t-il si je demande plus de 1000 valeurs ? L'effectif est ramené à la plage autorisée, comprise entre 1 et 1000.
