À quoi sert ce calculateur
La loi du khi-deux (ou khi-carré) est l'une des distributions les plus utilisées en statistique : elle est au cœur des tests d'adéquation, des tests d'indépendance sur tableaux de contingence et du calcul des intervalles de confiance pour une variance. Cet outil prend une valeur x et un nombre de degrés de liberté ν, puis renvoie trois quantités calculées avec une grande précision : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\) et la probabilité de queue supérieure \(Q(X > x)\).
Comment l'utiliser
Saisissez une valeur positive ou nulle pour \(x\) et une valeur strictement positive pour les degrés de liberté \(\nu\) (généralement un entier positif, même si le calcul fonctionne aussi pour des valeurs non entières de \(\nu\)). Cliquez sur Calculer. La densité indique la vraisemblance relative exactement au point \(x\), la probabilité inférieure correspond à l'aire située à gauche (le complément de la p-valeur pour un test unilatéral à gauche), tandis que la probabilité supérieure donne l'aire de la queue droite — c'est-à-dire la p-valeur rapportée par la plupart des tests de significativité du khi-deux.
La formule expliquée
La densité s'écrit $$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$ pour \(x > 0\), où \(\Gamma\) désigne la fonction gamma. La probabilité cumulée est égale à la fonction gamma incomplète inférieure régularisée \(P(k/2,\, x/2)\). Nous l'évaluons numériquement à l'aide d'un développement en série lorsque \(x/2 < k/2 + 1\), et d'un développement en fraction continue (méthode de Lentz) dans le cas contraire ; la fonction gamma est calculée via une approximation log-gamma de Lanczos, gage de stabilité numérique.
Exemple détaillé
Pour \(x = 2\) et \(\nu = 3\), posons \(a = k/2 = 1{,}5\) et \(z = x/2 = 1\). La densité vaut $$f = \exp\!\left[(0{,}5)\ln 2 - 1 - 1{,}5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1{,}5)\right] \approx 0{,}20755.$$ La probabilité inférieure \(P(X \le 2) = P(1{,}5, 1) \approx 0{,}42759\), d'où la probabilité de queue supérieure $$Q = 1 - 0{,}42759 \approx 0{,}57241.$$
Questions fréquentes
Que sont les degrés de liberté ? Dans les tests, ils correspondent en général au nombre de catégories moins le nombre de contraintes, par exemple \((\text{lignes}-1)(\text{colonnes}-1)\) pour un tableau de contingence.
Quelle valeur correspond à la p-valeur ? Pour un test du khi-deux classique, la p-valeur est la probabilité cumulée supérieure \(Q(X > x)\).
x peut-il être nul ou négatif ? Pour \(x = 0\), la densité dépend de \(\nu\) et la probabilité cumulée vaut 0. Une valeur négative de \(x\) se situe hors du support de la loi : on obtient alors \(f = 0\), \(P = 0\) et \(Q = 1\).
